[2 Pontos] Seja S a superfície em R^3 dada pela parte do plano z=3-y que está no interior do cilindro x^2+y^2=4. Calcule a integral
integral duplaS z d S

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
integral duplaSz,dS
onde S é a parte do plano z=3-y sobre o disco x^2+y^2<=4.
O conteúdo usado será a fórmula da integral de superfície de uma função escalar sobre o gráfico de z=g(x,y):
integral duplaSf,dS =integral duplaDfl(x,y,g(x,y)r),raiz1+gx^2+gy^2;dx,dy

Passo 2

Aqui g(x,y)=3-y, logo
gx=0, gy=-1
e
dS=raiz1+0^2+(-1)^2;dx,dy=raiz2,dx,dy
Além disso z=g(x,y)=3-y.

Passo 3

Substituindo em integral duplaSz,dS obtemos
I=integral duplaD(3-y),dS =raiz2integral duplaD(3-y);dx,dy,
onde D=(x,y)mid x^2+y^2<=4.

Passo 4

Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta vale dx,dy=r,dr,dtheta e y=rsintheta. Assim
integral duplaD(3-y),dx,dy =integral0^2piintegral0^2(3 - rsintheta),r,dr,dtheta

Passo 5

Separe em duas partes:
integral0^23r,dr=6, integral0^2r^2,dr=83
Logo
integral0^2piintegral0^2(3r - r^2sintheta),dr,dtheta =integral0^2pi6,dtheta -integral0^2pi83sintheta,dtheta =12pi-0 =12pi

Passo 6

Multiplicando pelo fator raiz2 de dS concluímos
I=raiz2times12pi=12raiz2,pi

Resposta

12raiz2,pi

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