use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
60 y=(2 x+1)^5(x^4-3)^6

Passo 1

O enunciado pede para usar derivação logarítmica na função
y = (2x+1)^5,(x^4-3)^6
O conteúdo envolvido é a propriedade de logaritmo de potência e a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural dos dois lados e usamos ln(a^b)=bln a:
ln y = 5,ln(2x+1) + 6,ln(x^4-3)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, ddx(ln y)=y'y. No direito, aplicamos a regra da cadeia em cada termo:
y'y =5cdot12x+1cdot(2) ;+;6cdot1x^4-3cdot(4x^3) =102x+1+24x^3x^4-3

Passo 4

Isolamos y' e substituímos y de volta:
y' = y;l(102x+1+24x^3x^4-3r) = (2x+1)^5(x^4-3)^6,l(102x+1+24x^3x^4-3r)

Passo 5

Podemos simplificar fatorando (2x+1)^4(x^4-3)^5:
y' =(2x+1)^4(x^4-3)^5l[10(x^4-3)+24x^3(2x+1)r]
Dentro do colchete:
10x^4-30+48x^4+24x^3=58x^4+24x^3-30,
de modo que a forma totalmente fatorada é
y'= (2x+1)^4(x^4-3)^5;2,(29x^4+12x^3-15)

Resposta

y' =(2x+1)^5(x^4-3)^6l(102x+1+24x^3x^4-3r)
Ou, fatorando completamente,
y'=2,(2x+1)^4(x^4-3)^5(29x^4+12x^3-15)

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