Derive as funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função $ y = \log_{5}\left(x e^{x}\right) $. Nesse problema, estamos trabalhando com o cálculo de derivadas, especificamente aplicando as regras de derivação para funções logarítmicas, produtos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar logaritmos com base diferente de $ e $, a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando propriedades dos logaritmos para simplificar a derivação. Sabemos que $ \log_{a}(b \cdot c) = \log_{a}b + \log_{a}c $. Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Começando com $ \log_{5}x $. A derivada de $ \log_{a}x $ em relação a $ x $ é:
Aplicando isso:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar $ \log_{5}e^{x} $. Primeiro, simplificamos $ \log_{5}e^{x} $ usando a propriedade $ \log_{a}b^{c} = c \log_{a}b $:
Agora, derivamos em relação a $ x $:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter a derivada total de $ y $:
Resposta
A derivada da função $ y = \log_{5}\left(x e^{x}\right) $ é: