O polinômio de Taylor de grau n de uma função f, classe C^n, na vizinhança de um ponto a in Dom(f) é dado por
pn(x)=f(a)+f^prime(a)(x-a)+f^prime prime(a)2 !(x-a)^2+f^prime prime prime(a)3 !(x-a)^3+ldots+f^(n)(a)n !(x-a)^n.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a quando:
(a) f(x)=raiz[3]x, a=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ em torno de $ a = 1 $. Isso faz parte do estudo de séries de Taylor, que aproxima funções por polinômios. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar cada uma delas no ponto $ a $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto $ a = 1 $. Isso é bem direto:
a = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada da função $ f(x) = x^{1/3} $. Lembre-se que, para derivar $ x^n $, a regra é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1:
f(x) = x^1/3

Passo 4

Vamos avaliar a primeira derivada no ponto $ a = 1 $:
a = 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda derivada. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
f''(x) = ddx ( 13 x^-2/3 ) = 13 cdot ( -23 ) x^-5/3 = -29 x^-5/3 = -29 cdot 1x^5/3

Passo 6

Vamos avaliar a segunda derivada no ponto $ a = 1 $:
a = 1

Passo 7

Seguimos para a terceira derivada, que é a derivada da segunda derivada:
f'''(x) = ddx ( -29 x^-5/3 ) = -29 cdot ( -53 ) x^-8/3 = 1027 x^-8/3 = 1027 cdot 1x^8/3

Passo 8

Vamos avaliar a terceira derivada no ponto $ a = 1 $:
a = 1

Passo 9

Agora que temos todas as derivadas avaliadas em $ a = 1 $, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
a = 1
Substituindo os valores que encontramos:
p3(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)2!(x - 1)^2 + f'''(1)3!(x - 1)^3
Simplificando as frações:
p3(x) = 1 + 13(x - 1) + -292(x - 1)^2 + 10276(x - 1)^3

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ em torno de $ a = 1 $ é:
f(x) = raiz[3]x

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