O polinômio de Taylor de grau
de uma função
, classe
, na vizinhança de um ponto
é dado por
.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
quando:
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ em torno de $ a = 1 $. Isso faz parte do estudo de séries de Taylor, que aproxima funções por polinômios. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar cada uma delas no ponto $ a $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto $ a = 1 $. Isso é bem direto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada da função $ f(x) = x^{1/3} $. Lembre-se que, para derivar $ x^n $, a regra é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1:
Passo 4
Vamos avaliar a primeira derivada no ponto $ a = 1 $:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda derivada. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 6
Vamos avaliar a segunda derivada no ponto $ a = 1 $:
Passo 7
Seguimos para a terceira derivada, que é a derivada da segunda derivada:
Passo 8
Vamos avaliar a terceira derivada no ponto $ a = 1 $:
Passo 9
Agora que temos todas as derivadas avaliadas em $ a = 1 $, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando as frações:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ em torno de $ a = 1 $ é: