Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
(k) lim x 0 sen xe^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o limite de sin xe^x quando x se aproxima de 0. A matéria aqui envolve limites e, especificamente, a regra de L’Hôspital, que a gente usa quando encontramos uma situação do tipo 00 ou inftyinfty. Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar qual o valor da expressão quando x se aproxima de 0. Substituindo x = 0:
sin 0e^0 = 01 = 0
Então, o limite é 0. Mas, como o exercício sugere usar a regra de L’Hôspital, vamos verificar se é aplicável.

Passo 3

A regra de L’Hôspital é usada quando temos uma indeterminação, como 00 ou inftyinfty. No nosso caso:
limx to 0 sin xe^x = 01 = 0
Não há indeterminação, pois o numerador tende a 0 e o denominador a 1, resultando em 0. Portanto, não precisamos aplicar a regra de L’Hôspital aqui.

Resposta

O limite de sin xe^x quando x se aproxima de 0 é 0.

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