Derive as funções abaixo, indicando a(s) regra(s) de derivação usada(s):
y=tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y=tan(x).
O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas e a aplicação da regra do quociente, já que tan(x) pode ser vista como a razão entre duas funções.

Passo 2

Reescrevemos
y = tan(x) = sin(x)cos(x)
Assim, identificamos u(x)=sin(x) e v(x)=cos(x).

Passo 3

Vamos usar a regra do quociente:
gl(uvgr)' = u',v - u,v'v^2
Como u'(x)=cos(x) e v'(x)=-sin(x), substituindo:
y' = cos(x),cos(x) ;-;sin(x),(-sin(x))cos^2(x) = cos^2(x) + sin^2(x)cos^2(x)

Passo 4

Usamos a identidade pitagórica cos^2(x)+sin^2(x)=1, então
y' = 1cos^2(x) = sec^2(x)

Resposta

ddxl[tan(x)r] = sec^2(x)

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