Questão 4. Em um estudo de otimização de desempenho em sistemas distribuídos, engenheiros de software identificaram que o tempo médio de resposta de uma requisição, medido em milissegundos, pode ser aproximado pela função
f(x)=tg(x)-1sec (x)
em que x representa uma carga simulada sobre o servidor principal, medida em radianos, variando em torno de pequenos valores positivos. O time de engenharia deseja entender como o tempo médio de resposta varia quando a carga atinge x=pi4, valor que representa uma carga moderada no sistema.
a) Calcule a derivada f^prime(x) em relação a x.
b) Avalie a derivada no ponto x=pi4.
c) Interprete o significado deste resultado no contexto do desempenho do sistema.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=tan(x)-1sec(x)
e pede (a) a derivada f'(x), (b) essa derivada em x=pi4 e (c) o significado desse valor no contexto de desempenho de um sistema distribuído. Vamos usar simplificação de expressões trigonométricas e regras de derivação básicas.

Passo 2

Simplificamos primeiro f(x). Usando sec(x)=tfrac1cos(x) e tan(x)=tfracsin(x)cos(x), temos
f(x) =l(tan(x)-1r)cos(x) =sin(x)cos(x)cos(x)-cos(x) =sin(x)-cos(x)

Passo 3

Derivando a forma simplificada f(x)=sin(x)-cos(x), obtemos
f'(x)=ddxl[sin(x)r]-ddxl[cos(x)r] =cos(x)+sin(x)

Passo 4

Avaliaremos em x=pi4:
f'l(tfracpi4r) =cosl(tfracpi4r)+sinl(tfracpi4r) =raiz22+raiz22 =raiz2

Passo 5

Como f'(tfracpi4)>0, isso indica que, ao aumentar ligeiramente a carga (medida em radianos) acima de tfracpi4, o tempo médio de resposta sobe. O valor raiz2 significa que, para cada aumento de 1 radiano na carga, o tempo de resposta cresce aproximadamente raiz2 milissegundos ao redor de x=tfracpi4.

Resposta

(a) cos(x)+sin(x)
(b) raiz2
(c) Indica que, em x=tfracpi4, um pequeno acréscimo de carga faz o tempo de resposta aumentar a uma taxa de raiz2 ms por radiano, ou seja, o sistema fica cada vez mais lento à medida que a carga cresce nessa região.

Exercícios relacionados