Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge ou diverge e, em caso convergente, determinar o seu limite. O conteúdo é comportamento assintótico de sequência e usaremos propriedades de limites de funções, em particular transformando em forma
e aplicando a regra de l’Hôpital.
Passo 2
Tomamos o logaritmo natural de
para facilitar o cálculo do limite:
Logo
Essa forma é
quando
.
Passo 3
Para aplicar l’Hôpital, faça a troca
, de modo que
quando
. Assim
Portanto
Passo 4
Como a função exponencial é contínua, podemos voltar do logaritmo:
Isso mostra que a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e