Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.
an=(1+1n)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an=l(1+1nr)^n
converge ou diverge e, em caso convergente, determinar o seu limite. O conteúdo é comportamento assintótico de sequência e usaremos propriedades de limites de funções, em particular transformando em forma 0/0 e aplicando a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de an para facilitar o cálculo do limite:
ln an = lnl(1+1nr)^n = n,lnl(1+1nr)
Logo
limntoinftyln an = limntoinfty ln!l(1+tfrac1nr)tfrac1n
Essa forma é tfrac00 quando ntoinfty.

Passo 3

Para aplicar l’Hôpital, faça a troca x=tfrac1n, de modo que xto0^+ quando ntoinfty. Assim
limntoinfty ln!l(1+tfrac1nr)tfrac1n = limxto0^+ln(1+x)x oversetlH= limxto0^+tfracddxln(1+x)tfracddxx = limxto0^+1/(1+x)1 =1
Portanto
limntoinftyln an=1

Passo 4

Como a função exponencial é contínua, podemos voltar do logaritmo:
limntoinftyan = limntoinftye^ln an = e^limntoinftyln an = e^1 = e
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyl(1+1nr)^n=e

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