Mostre que a equação x y=1 define uma hipérbole. Determine os focos e as assíntotas.

Passo 1

A equação dada é xy = 1, que contém um termo misto x·y. O conteúdo aqui é classificação de cônicas e rotação de eixos para eliminar termos mistos. A estratégia é rotacionar o sistema de coordenadas em 45° para passar a equação para a forma padrão de uma hipérbole.

Passo 2

Para rotacionar em 45°, usamos as fórmulas de mudança de variáveis
de eixos:
u = xcos 45^circ + ysin 45^circ, v = -xsin 45^circ + ycos 45^circ
Como cos45^circ = sin45^circ = 1/raiz2, definimos
u = x+yraiz2, v = -x+yraiz2

Passo 3

Substituindo na equação original:
xy = l(u+vraiz2r)l(u-vraiz2r) = u^2 - v^22
Portanto xy=1 vira
u^2 - v^22 = 1 $$
\Longrightarrow u^2 - v^2 = 2
$$ Longrightarrow u^2 - v^2 = 2
Isto é exatamente a forma padrão de uma hipérbole com Longrightarrow u^22 - v^22 = 1 e a^2 = 2.

Passo 4

Para hipérbole u^2a^2 - v^2b^2 = 1 sabemos que os focos em (u,v) estão em (pm c,0), onde
c^2 = a^2 + b^2 = 2 + 2 = 4 Longrightarrow c = 2
Logo os focos em (u,v) são (2,0) e (-2,0). Para voltar a (x,y) usamos a inversa da rotação:
x = u - vraiz2, y = u + vraiz2
Para (u,v) = (2,0) vem (x,y) = (raiz2,raiz2), e para (-2,0) vem (-raiz2,-raiz2).

Passo 5

As assíntotas de u^2 - v^2 = 2 são dadas por u^2 - v^2 = 0, ou seja u=pm v. Voltando a (x,y):
  • Se u = v, então (x+y) = ( -x+y ) leva a y=0.
  • Se u = -v, então (x+y) = -( -x+y ) leva a x=0.
    Assim as assíntotas na curva original são as retas x=0 e y=0.

Resposta

A curva é uma hipérbole. Os focos são ( raiz2,raiz2) e ( -raiz2,-raiz2). As assíntotas são as retas x=0 e y=0.

Exercícios relacionados