Mostre que a equação
define uma hipérbole. Determine os focos e as assíntotas.
Passo 1
A equação dada é xy = 1, que contém um termo misto x·y. O conteúdo aqui é classificação de cônicas e rotação de eixos para eliminar termos mistos. A estratégia é rotacionar o sistema de coordenadas em 45° para passar a equação para a forma padrão de uma hipérbole.
Passo 2
Para rotacionar em 45°, usamos as fórmulas de mudança de variáveis
de eixos:
de eixos:
Como
, definimos
Passo 3
Substituindo na equação original:
Portanto
vira
\Longrightarrow u^2 - v^2 = 2
$$
Isto é exatamente a forma padrão de uma hipérbole com
e
.
Passo 4
Para hipérbole
sabemos que os focos em
estão em
, onde
Logo os focos em
são
e
. Para voltar a
usamos a inversa da rotação:
Para
vem
, e para
vem
.
Passo 5
As assíntotas de
são dadas por
, ou seja
. Voltando a
:
- Se
, então leva a . - Se
, então leva a .
Assim as assíntotas na curva original são as retase .
Resposta
A curva é uma hipérbole. Os focos são (
) e (
). As assíntotas são as retas
e
.