A equação
é dita exata se puder ser escrita na forma:
onde
pode ser determinada em função de
e
.
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas:
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
x³y¨+x²y˙+xy=0
é exata, sabendo que a condição necessária e suficiente é
x³y¨+x²y˙+xy=0
é exata, sabendo que a condição necessária e suficiente é
P’’(x)+Q’(x)+R(x)=0
onde P(x), Q(x) e R(x) são os coeficientes de y¨, y˙ e y, respectivamente.
Passo 2
Aqui temos
P(x)=x³, Q(x)=x² e R(x)=x.
Passo 3
Vamos calcular P’’(x), Q’(x) e somar com R(x):
P’(x)=3x² ⇒ P’’(x)=6x
Q’(x)=2x
Q’(x)=2x
Logo,
Passo 4
Como 9x≠0 para x≠0, a soma não se anula identicamente. Portanto a equação não satisfaz a condição de exatidão.
Resposta
A equação dada não é exata.