A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas:
x^3 y^prime prime+x^2 y^prime+x y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
x³y¨+x²y˙+xy=0
é exata, sabendo que a condição necessária e suficiente é
P’’(x)+Q’(x)+R(x)=0
onde P(x), Q(x) e R(x) são os coeficientes de y¨, y˙ e y, respectivamente.

Passo 2

Aqui temos
P(x)=x³, Q(x)=x² e R(x)=x.

Passo 3

Vamos calcular P’’(x), Q’(x) e somar com R(x):
P’(x)=3x² ⇒ P’’(x)=6x
Q’(x)=2x
Logo,
P''(x)+Q'(x)+R(x)=6x+2x+x=9x

Passo 4

Como 9x≠0 para x≠0, a soma não se anula identicamente. Portanto a equação não satisfaz a condição de exatidão.

Resposta

A equação dada não é exata.

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