Derive as funções abaixo, utilizando as regras de derivação estudadas.
g(x)=x^2 e^2 xsen(4 x)+pi, x in R.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função g(x)=dfracx^2e^2xsin(4x)+pi. O assunto envolve as regras de derivação: produto (para x^2 e^2x), cadeia (para e^2x e sin(4x)) e quociente.

Passo 2

Vamos definir o numerador e o denominador separadamente para usar a regra do quociente:
Numerador: N(x)=x^2e^2x
Denominador: D(x)=sin(4x)+pi
E a regra do quociente diz que
g'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2

Passo 3

Agora vamos achar N'(x) usando a regra do produto em x^2 e e^2x, lembrando que (e^2x)'=2e^2x:
N'(x)=(x^2)'e^2x+x^2(e^2x)'=2x e^2x+x^2cdot2e^2x=2e^2xx(1+x)

Passo 4

Em seguida, derivamos D(x)=sin(4x)+pi. A constante pi some e aplicamos cadeia em sin(4x):
D'(x)=cos(4x)cdot4=4cos(4x)

Passo 5

Por fim, aplicamos a fórmula do quociente e simplificamos o numerador fatorando 2x e^2x:
g'(x)=2x e^2x(1+x)(sin(4x)+pi)-x^2e^2xcdot4cos(4x)(sin(4x)+pi)^2 =2x e^2xl[(1+x)(sin(4x)+pi)-2xcos(4x)r](sin(4x)+pi)^2

Resposta

g'(x)=dfrac2x e^2xl[(1+x)(sin(4x)+pi)-2xcos(4x)r](sin(4x)+pi)^2

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