Esboce o gráfico da curva cuja equação é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t)=2 cos t i-3 sin t j+k

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica r(t)=2cos t, i-3sin t, j+ k e pede o esboço (gráfico) da curva no espaço, além de indicar a direção em que t cresce. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas e de como reconhecer uma elipse ao eliminar o parâmetro.

Passo 2

Em primeiro lugar, escrevemos as componentes separadas:
x(t)=2cos t, y(t)=-3sin t, z(t)=1
Note que z é constante igual a 1, então a curva está contida no plano z=1.

Passo 3

Agora usamos a identidade trigonométrica cos^2t+sin^2t=1. Como cos t=tfracx2 e sin t=-tfracy3, temos:
l(x2r)^2+l(-y3r)^2=1
que simplifica para
x^24+y^29=1

Passo 4

Isso mostra que o traço no plano z=1 é uma elipse de centro (0,0,1), com semi-eixo de comprimento 2 no eixo x e semi-eixo de comprimento 3 no eixo y.

Passo 5

Para determinar o sentido de percor
adre por t, avaliamos dois valores:
r(0)=(2,0,1), rl(pi2r)=(0,-3,1)
Ou seja, ao aumentar t de 0 a pi2, a curva vai de (2,0,1) para (0,-3,1), movendo-se no sentido horário visto de cima (sentido negativo de y).

Passo 6

Para esboçar, desenhe a elipse no plano z=1, marque os pontos principais
(2,0,1),(0,-3,1),(-2,0,1),(0,3,1) e adicione setas seguindo o sentido horário conforme t cresce.

Resposta

O gráfico é a elipse x^24+y^29=1 no plano z=1, percorrida no sentido horário quando t cresce.

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