Esboce o gráfico da curva cuja equação é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede o esboço (gráfico) da curva no espaço, além de indicar a direção em que
cresce. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas e de como reconhecer uma elipse ao eliminar o parâmetro.
Passo 2
Em primeiro lugar, escrevemos as componentes separadas:
Note que
é constante igual a 1, então a curva está contida no plano
.
Passo 3
Agora usamos a identidade trigonométrica
. Como
e
, temos:
que simplifica para
Passo 4
Isso mostra que o traço no plano
é uma elipse de centro
, com semi-eixo de comprimento 2 no eixo
e semi-eixo de comprimento 3 no eixo
.
Passo 5
Para determinar o sentido de percor
adre por , avaliamos dois valores:
adre por
Ou seja, ao aumentar
de 0 a
, a curva vai de
para
, movendo-se no sentido horário visto de cima (sentido negativo de
).
Passo 6
Para esboçar, desenhe a elipse no plano
, marque os pontos principais
e adicione setas seguindo o sentido horário conforme
cresce.
Resposta
O gráfico é a elipse
no plano
, percorrida no sentido horário quando
cresce.