Derive as funções abaixo:
3.1
3.1
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
em relação a
.
Informações dadas: a função é e devemos encontrar
, ou seja, a derivada de
em função de
. A expressão contém uma exponencial com uma expressão linear no expoente.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar ela de um jeito simples. Se você tem uma função composta
, a derivada em relação a
é
Isso significa que primeiro derivamos a função “de fora”
avaliando-a em
, e depois multiplicamos pela derivada da função “de dentro”
. Pense assim: a troca de velocidade lá dentro afeta o resultado final, então multiplicamos pela taxa de variação interna.
Passo 3
Outra coisa útil: a derivada da exponencial base
é muito simples. Se
é uma variável (ou função), então
Aplicando isso com a regra da cadeia: se temos
, então
Ou seja, derivamos o expoente
e multiplicamos por
.
Passo 4
Identificamos a parte “de dentro” (o
) da nossa função. No caso,
Agora calculamos a derivada de
em relação a
. A derivada de uma constante é zero e a derivada de
é
. Portanto,
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia que escrevemos no Passo 3:
Substituindo
e
, obtemos
Se quiser ver de outra forma equivalente, podemos escrever
, então
mas a forma mais compacta e habitual é
.
Passo 6
Pequeno exemplo para fixar (sem relação com a prova, só pra treinar): se
, então seguindo exatamente os mesmos passos temos
. Repare a semelhança: o coeficiente de
no expoente vira um fator multiplicativo na derivada.