Derive as funções abaixo:
3.1 y=e^{10-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y = e^{10-2x} em relação a x.
Informações dadas: a função é y(x)=e^{10-2x} e devemos encontrar y'(x), ou seja, a derivada de y em função de x. A expressão contém uma exponencial com uma expressão linear no expoente.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar ela de um jeito simples. Se você tem uma função composta f(g(x)), a derivada em relação a x é
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isso significa que primeiro derivamos a função “de fora” f avaliando-a em g(x), e depois multiplicamos pela derivada da função “de dentro” g(x). Pense assim: a troca de velocidade lá dentro afeta o resultado final, então multiplicamos pela taxa de variação interna.

Passo 3

Outra coisa útil: a derivada da exponencial base e é muito simples. Se u é uma variável (ou função), então
\frac{d}{du} e^{u} = e^{u}.
Aplicando isso com a regra da cadeia: se temos y = e^{u(x)}, então
\frac{dy}{dx} = u'(x)\,e^{u(x)}.
Ou seja, derivamos o expoente u(x) e multiplicamos por e^{u(x)}.

Passo 4

Identificamos a parte “de dentro” (o u(x)) da nossa função. No caso,
u(x) = 10 - 2x.
Agora calculamos a derivada de u em relação a x. A derivada de uma constante é zero e a derivada de -2x é -2. Portanto,
u'(x) = 0 - 2 = -2.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia que escrevemos no Passo 3:
\frac{dy}{dx} = u'(x)\,e^{u(x)}.
Substituindo u'(x)=-2 e u(x)=10-2x, obtemos
\frac{dy}{dx} = -2\,e^{10-2x}.
Se quiser ver de outra forma equivalente, podemos escrever e^{10-2x}=e^{10}e^{-2x}, então
\frac{dy}{dx} = -2e^{10}e^{-2x},
mas a forma mais compacta e habitual é -2e^{10-2x}.

Passo 6

Pequeno exemplo para fixar (sem relação com a prova, só pra treinar): se z(x)=e^{3x+1}, então seguindo exatamente os mesmos passos temos z'(x)=3e^{3x+1}. Repare a semelhança: o coeficiente de x no expoente vira um fator multiplicativo na derivada.

Resposta

-2e^{10-2x}

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