Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função em relação a
.
Informações relevantes: a função é um produto de uma constante pelo logaritmo natural de uma função linear
. A incógnita em relação à qual derivamos é
.
Informações relevantes: a função é um produto de uma constante
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): a derivada do logaritmo natural composto por uma função é obtida pela regra da cadeia. Primeiro lembramos duas coisas simples:
Aqui vamos aplicar (i) com
e (ii) para compor as derivadas. Além disso, se uma função é multiplicada por uma constante
, então
.
Passo 3
Identificamos a função interior (a “u”) que está dentro do logaritmo:
Agora calculamos a derivada dessa
. Como
é uma função linear do tipo
, sua derivada é o coeficiente
. Logo,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
: primeiro usamos que a constante
sai da derivada, então
Pela derivada do ln e pela cadeia,
Substituindo
e
, temos
Passo 5
Simplificamos o resultado:
Podemos também apresentar em forma equivalente dividindo numerador e denominador por
ou escrever
, mas a forma
é direta e correta.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (pequena revisão prática): se tivéssemos
, tomaríamos
,
e obteríamos
o que segue exatamente a mesma ideia de identificar
, achar
e aplicar
.