Derive as funções abaixo:
3.2 y=4 \ln (2 x+5)

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=4\ln(2x+5)\; e pede para calcular a derivada dessa função em relação a x.
Informações relevantes: a função é um produto de uma constante 4 pelo logaritmo natural de uma função linear \;2x+5. A incógnita em relação à qual derivamos é x.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a derivada do logaritmo natural composto por uma função é obtida pela regra da cadeia. Primeiro lembramos duas coisas simples:
\text{(i)}\quad \frac{d}{dt}\big(\ln t\big)=\frac{1}{t}\quad\text{para }t>0,
\text{(ii)}\quad \frac{d}{dx}\big(f(g(x))\big)=f'(g(x))\cdot g'(x)\quad\text{(regra da cadeia)}.
Aqui vamos aplicar (i) com t=u(x) e (ii) para compor as derivadas. Além disso, se uma função é multiplicada por uma constante c, então \frac{d}{dx}\big(c\cdot h(x)\big)=c\cdot h'(x).

Passo 3

Identificamos a função interior (a “u”) que está dentro do logaritmo:
u(x)=2x+5.
Agora calculamos a derivada dessa u(x). Como u(x) é uma função linear do tipo ax+b, sua derivada é o coeficiente a. Logo,
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+5)=2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para y=4\ln(u(x)): primeiro usamos que a constante 4 sai da derivada, então
\frac{dy}{dx}=4\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(u(x))\big).
Pela derivada do ln e pela cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\ln(u(x))\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituindo u(x)=2x+5 e u'(x)=2, temos
\frac{dy}{dx}=4\cdot\frac{2}{2x+5}.

Passo 5

Simplificamos o resultado:
\frac{dy}{dx}=\frac{8}{2x+5}.
Podemos também apresentar em forma equivalente dividindo numerador e denominador por 1 ou escrever \frac{4}{x+\tfrac{5}{2}}, mas a forma \frac{8}{2x+5} é direta e correta.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (pequena revisão prática): se tivéssemos y=\ln(x^2), tomaríamos u(x)=x^2, u'(x)=2x e obteríamos
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x},
o que segue exatamente a mesma ideia de identificar u, achar u' e aplicar \frac{u'}{u}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{8}{2x+5}

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