Derive as funções abaixo:
3.4 y=\left(x^{2}-1\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\left(x^{2}-1\right)^{5} e pede para calcular a sua derivada em relação a x.
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função interna x^{2}-1 e uma função externa “elevar à quinta potência”. A incógnita é x.
Objetivo: encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar e com cuidado): regra da cadeia + regra da potência.
Se tivermos uma função definida por y = u(x)^{n}, onde u(x) é uma função de x e n é um número (inteiro neste caso), a regra da cadeia diz que a derivada é:
\frac{dy}{dx} = n\;u(x)^{\,n-1}\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui:
  • u(x) é a “parte de dentro” (a função interna);
  • n é o expoente aplicado a essa função;
  • \frac{du}{dx} é a derivada da parte interna.
    Explicação intuitiva: primeiro derivamos a “casca” u^{n} como se u fosse uma variável (o que nos dá n u^{n-1}), e depois multiplicamos pela taxa com que u muda com x (ou seja, \frac{du}{dx}). É como desmontar uma cebola por camadas.

Passo 3

Identificação das peças na nossa função:
Defina a função interna
u(x)=x^{2}-1
e o expoente
n=5.
Agora calculamos a derivada da parte interna u(x). Usamos a regra da potência simples para x^{2}: a derivada de x^{2} é 2x, e a derivada de uma constante -1 é 0. Assim,
\frac{du}{dx} = 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia da Passo 2 com u(x)=x^{2}-1 e \frac{du}{dx}=2x, obtemos a derivada y' na forma não simplificada:
\frac{dy}{dx} = 5\left(x^{2}-1\right)^{4}\cdot 2x.
Aqui eu multipliquei o expoente 5 pela potência reduzida \left(x^{2}-1\right)^{4} e coloquei a derivada da parte interna 2x como fator multiplicativo, exatamente seguindo a fórmula da regra da cadeia.

Passo 5

Comentário sobre simplificação: podemos agrupar os fatores numéricos (os coeficientes) para deixar a expressão mais limpa. Multiplicando os coeficientes 5 e 2x obtemos o coeficiente 10x. A expressão então fica pronta para ser escrita de forma compacta e convencional.

Resposta

\displaystyle y'=10x\left(x^{2}-1\right)^{4}

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