Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a sua derivada em relação a
.
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função interna e uma função externa “elevar à quinta potência”. A incógnita é
.
Objetivo: encontrar .
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função interna
Objetivo: encontrar
Passo 2
Conceito essencial (explicado devagar e com cuidado): regra da cadeia + regra da potência.
Se tivermos uma função definida por , onde
é uma função de
e
é um número (inteiro neste caso), a regra da cadeia diz que a derivada é:
Se tivermos uma função definida por
Aqui:
-
é a “parte de dentro” (a função interna); -
é o expoente aplicado a essa função; -
é a derivada da parte interna.
Explicação intuitiva: primeiro derivamos a “casca”como se fosse uma variável (o que nos dá ), e depois multiplicamos pela taxa com que muda com (ou seja, ). É como desmontar uma cebola por camadas.
Passo 3
Identificação das peças na nossa função:
Defina a função interna
Defina a função interna
e o expoente
Agora calculamos a derivada da parte interna
. Usamos a regra da potência simples para
: a derivada de
é
, e a derivada de uma constante
é
. Assim,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia da Passo 2 com
e
, obtemos a derivada
na forma não simplificada:
Aqui eu multipliquei o expoente
pela potência reduzida
e coloquei a derivada da parte interna
como fator multiplicativo, exatamente seguindo a fórmula da regra da cadeia.
Passo 5
Comentário sobre simplificação: podemos agrupar os fatores numéricos (os coeficientes) para deixar a expressão mais limpa. Multiplicando os coeficientes
e
obtemos o coeficiente
. A expressão então fica pronta para ser escrita de forma compacta e convencional.