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y^{\prime \prime}+y=\tan (x) \quad, \quad apenas solução geral
y^{\prime \prime}+y=\tan (x) \quad, \quad apenas solução geral
Passo 1
Estamos diante de uma equação diferencial de segunda ordem não homogenéa:
. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e termo forçante
. Vamos usar variação de parâmetros para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
. A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções fundamentais da homogênea:
e
. O Wronskiano é
A fórmula de variação de parâmetros dá
y_p = -y_1\int \frac{y_2 f}{W},dx + y_2\int \frac{y_1 f}{W},dx,
onde
Passo 4
Agora calculemos os dois integrais:
Então
$$u_1 = -\bigl(\ln|\sec x+\tan x| - \sin x\bigr), \quad u_2 = -\cos x.
$$
Passo 5
Por fim, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular. Então
evita repetir tudo aqui; a expressão completa vai no campo da resposta final.