[
y^{\prime \prime}+y=\tan (x) \quad, \quad apenas solução geral

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial de segunda ordem não homogenéa: y'' + y = tan(x). O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e termo forçante tan(x). Vamos usar variação de parâmetros para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y'' + y = 0. A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções fundamentais da homogênea: y1(x)=cos x e y2(x)=sin x. O Wronskiano é
W = y1 & y2 y1' & y2' = cos x & sin x -sin x & cos x = 1
A fórmula de variação de parâmetros dá
y_p = -y_1\int \frac{y_2 f}{W},dx + y_2\int \frac{y_1 f}{W},dx,
onde f(x)=tan(x).

Passo 4

Agora calculemos os dois integrais:
integral y2 f,dx = integral sin x tan x,dx = integral sin^2 xcos x,dx = integral l(sec x - cos xr) dx = lnl|sec x+tan xr| - sin x,
integral y1 f,dx = integral cos x tan x,dx = integral sin x,dx = -cos x
Então
$$u_1 = -\bigl(\ln|\sec x+\tan x| - \sin x\bigr), \quad u_2 = -\cos x.
u1 = -l(ln|sec x+tan x| - sin xr), u2 = -cos x y_p(x) = -\cos x,\ln\bigl|\sec x+\tan x\bigr|.
$$

Passo 5

Por fim, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular. Então
y(x) = yh(x) + yp(x)
evita repetir tudo aqui; a expressão completa vai no campo da resposta final.

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x - cos xlnl|sec x + tan xr|

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