Derive as funções abaixo.
y=sin (x^2) e y=sin ^2 x

Passo 1

Beleza, a gente tem duas funções para derivar: y=sin(x^2) e y=sin^2 x. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, que diz que se você tem uma função composta y=f(g(x)), a derivada é y'=f'(g(x)) cdot g'(x).

Passo 2

Vamos derivar y=sin(x^2). Aqui a parte externa é sin(u) e a interna é u=x^2. Primeiro puxamos a derivada de sin(u), que é cos(u), e depois multiplicamos pela derivada de u=x^2, que é 2x. Juntando tudo,
y'=cos(x^2)cdot 2x = 2xcos(x^2)

Passo 3

Agora derivar y=sin^2 x. A ideia é ver como y=(sin x)^2. A parte de fora é u^2 e a interna é u=sin x. A derivada de u^2 é 2u e a de sin x é cos x. Assim,
y'=2sin x cdot cos x

Resposta

Para y=sin(x^2), y'=2xcos(x^2). Para y=sin^2 x, y'=2sin xcos x.

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