Resolva a EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo linear com coeficientes constantes. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar dividir a solução em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular que atenda ao lado direito da equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
por
. Então, temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito da equação é a soma de
e um polinômio de segundo grau, vamos encontrar soluções particulares para cada termo e depois somá-las.
Passo 7
Para o termo
:
Sabemos que para funções trigonométricas, a solução particular assume a forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Para o termo
:
A solução particular para um polinômio de grau 2 assume a forma:
Onde
,
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Vamos primeiro encontrar
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
-
→ -
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 10
Agora temos:
Passo 11
Vamos encontrar agora
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Organizando os termos:
Igualando os coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Termo constante:
Passo 12
Então, a solução particular para o polinômio é:
Passo 13
Agora, juntando as duas soluções particulares:
Passo 14
Finalmente, combinando a solução da equação homogênea com a particular, temos a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da EDO é: