Resolva a EDO:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=sen(2 t)+(t^2+2 t+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo linear com coeficientes constantes. A equação que temos é:
y'' - 5 y' + 6 y = sin(2 t) + (t^2 + 2 t + 1)
Para resolver isso, vamos precisar dividir a solução em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular que atenda ao lado direito da equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 5 y' + 6 y = 0
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo y por e^rt. Então, temos:
r^2 - 5 r + 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 5 r + 6 = 0
Podemos fatorar:
(r - 2)(r - 3) = 0
Então, as raízes são r = 2 e r = 3.

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas ( r = 2 e r = 3), a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^2 t + C2 e^3 t
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' - 5 y' + 6 y = sin(2 t) + (t^2 + 2 t + 1)
Como o lado direito da equação é a soma de sin(2 t) e um polinômio de segundo grau, vamos encontrar soluções particulares para cada termo e depois somá-las.

Passo 7

Para o termo sin(2 t):
Sabemos que para funções trigonométricas, a solução particular assume a forma:
yp1(t) = A cos(2 t) + B sin(2 t)
Onde A e B são constantes a serem determinadas.
Para o termo t^2 + 2 t + 1:
A solução particular para um polinômio de grau 2 assume a forma:
yp2(t) = D t^2 + E t + F
Onde D, E e F são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Vamos primeiro encontrar yp1(t) = A cos(2 t) + B sin(2 t).
Calculando as derivadas:
yp1'(t) = -2 A sin(2 t) + 2 B cos(2 t)
yp1''(t) = -4 A cos(2 t) - 4 B sin(2 t)
Substituindo na equação original:
(-4 A cos(2 t) - 4 B sin(2 t)) - 5 (-2 A sin(2 t) + 2 B cos(2 t)) + 6 (A cos(2 t) + B sin(2 t)) = sin(2 t)
Simplificando:
(-4 A + 10 B + 6 A) cos(2 t) + (-4 B + 10 A + 6 B) sin(2 t) = sin(2 t)
(2 A + 10 B) cos(2 t) + (10 A + 2 B) sin(2 t) = sin(2 t)
Igualando os coeficientes:
2 A + 10 B = 0
10 A + 2 B = 1

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. 2 A + 10 B = 0 A = -5 B
  2. Substituindo na segunda equação:
10 (-5 B) + 2 B = 1 -50 B + 2 B = 1 -48 B = 1 B = -148
Então:
A = -5 (-148) = 548

Passo 10

Agora temos:
yp1(t) = 548 cos(2 t) - 148 sin(2 t)

Passo 11

Vamos encontrar agora yp2(t) = D t^2 + E t + F.
Calculando as derivadas:
yp2'(t) = 2 D t + E
yp2''(t) = 2 D
Substituindo na equação original:
2 D - 5 (2 D t + E) + 6 (D t^2 + E t + F) = t^2 + 2 t + 1
Simplificando:
2 D - 10 D t - 5 E + 6 D t^2 + 6 E t + 6 F = t^2 + 2 t + 1
Organizando os termos:
6 D t^2 + (-10 D + 6 E) t + (2 D - 5 E + 6 F) = t^2 + 2 t + 1
Igualando os coeficientes:
  1. Para t^2:
6 D = 1 Rightarrow D = 16
  1. Para t:
-10 D + 6 E = 2 -10 (16) + 6 E = 2 -106 + 6 E = 2 6 E = 2 + 106 = 226 E = 2236 = 1118
  1. Termo constante:
2 D - 5 E + 6 F = 1 2 (16) - 5 (1118) + 6 F = 1 13 - 5518 + 6 F = 1 6 F = 1 - 13 + 5518 6 F = 1818 - 618 + 5518 = 6718 F = 67108

Passo 12

Então, a solução particular para o polinômio é:
yp2(t) = 16 t^2 + 1118 t + 67108

Passo 13

Agora, juntando as duas soluções particulares:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 548 cos(2 t) - 148 sin(2 t) + 16 t^2 + 1118 t + 67108

Passo 14

Finalmente, combinando a solução da equação homogênea com a particular, temos a solução geral da EDO:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2 t + C2 e^3 t + 548 cos(2 t) - 148 sin(2 t) + 16 t^2 + 1118 t + 67108

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = C1 e^2 t + C2 e^3 t + 548 cos(2 t) - 148 sin(2 t) + 16 t^2 + 1118 t + 67108

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