Derive a funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas: a expressão da função é acima. Note que a função só está definida quando
, isto é, para
ou
.
O pedido claro: encontrar , a derivada de
em termos de
.
Informações dadas: a expressão da função é
O pedido claro: encontrar
Passo 2
Escolha do método e definição das partes: como
é produto de duas funções de
, vou usar a regra do produto. Defino duas funções auxiliares:
e
.
A regra do produto diz:
A regra do produto diz:
Vou aplicar essa fórmula com
e
acima. Esta escolha é natural porque derivar um produto é exatamente isso: somar o produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.
Passo 3
Derivada de
: a propriedade básica é que a derivada da exponencial é ela mesma. Ou seja,
Explicação curta: a função
cresce de forma proporcional ao seu valor, por isso a derivada é igual à própria função.
Passo 4
Derivada de
: aqui usamos a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo natural. A regra geral é: se
, então
No nosso caso
. Agora calculamos
.
Passo 5
Calcular
e então
:
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Portanto
. Lembre que isto só faz sentido quando
, consistente com o domínio
ou
.
Passo 6
Aplicar a regra do produto
usando os resultados:
Substituindo:
Passo 7
Simplificar fatorando
, que é comum aos dois termos:
Opcionalmente, se quiser uma única fração dentro do parêntese, combine em denominador comum
:
Ambas expressões são equivalentes; a primeira é geralmente mais legível na prova. Lembre-se: esta derivada vale para
ou
.
Passo 8
Recapitulando a técnica para a prova (dica prática e amigável): quando tiver
multiplicando um
, quase sempre é produtivo definir
e
e aplicar produto + cadeia. Não esqueça de checar domínio (aqui
). Força aí — você tá indo bem!