Derive a funções abaixo.
y=e^{x} \ln \left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y = e^{x}\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr).
Informações dadas: a expressão da função é y acima. Note que a função só está definida quando x^{2}-1>0, isto é, para x<-1 ou x>1.
O pedido claro: encontrar y', a derivada de y em termos de x.

Passo 2

Escolha do método e definição das partes: como y é produto de duas funções de x, vou usar a regra do produto. Defino duas funções auxiliares:
u(x)=e^{x} e v(x)=\ln\bigl(x^{2}-1\bigr).
A regra do produto diz:
(uv)' = u'v + uv'.
Vou aplicar essa fórmula com u e v acima. Esta escolha é natural porque derivar um produto é exatamente isso: somar o produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.

Passo 3

Derivada de u(x)=e^{x}: a propriedade básica é que a derivada da exponencial é ela mesma. Ou seja,
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Explicação curta: a função e^{x} cresce de forma proporcional ao seu valor, por isso a derivada é igual à própria função.

Passo 4

Derivada de v(x)=\ln\bigl(x^{2}-1\bigr): aqui usamos a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo natural. A regra geral é: se v(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr), então
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
No nosso caso g(x)=x^{2}-1. Agora calculamos g'(x).

Passo 5

Calcular g'(x) e então v'(x):
g(x)=x^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-1\bigr)=2x.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{2x}{x^{2}-1}.
Portanto v'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-1}. Lembre que isto só faz sentido quando x^{2}-1\neq0, consistente com o domínio x<-1 ou x>1.

Passo 6

Aplicar a regra do produto (uv)' = u'v + uv' usando os resultados:
u'(x)=e^{x},\qquad v(x)=\ln\bigl(x^{2}-1\bigr),\qquad v'(x)=\frac{2x}{x^{2}-1}.
Substituindo:
y' = e^{x}\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr) + e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}-1}.

Passo 7

Simplificar fatorando e^{x}, que é comum aos dois termos:
y' = e^{x}\left(\ln\bigl(x^{2}-1\bigr) + \frac{2x}{x^{2}-1}\right).
Opcionalmente, se quiser uma única fração dentro do parêntese, combine em denominador comum x^{2}-1:
y' = e^{x}\,\frac{(x^{2}-1)\ln\bigl(x^{2}-1\bigr) + 2x}{x^{2}-1}.
Ambas expressões são equivalentes; a primeira é geralmente mais legível na prova. Lembre-se: esta derivada vale para x<-1 ou x>1.

Passo 8

Recapitulando a técnica para a prova (dica prática e amigável): quando tiver e^{x} multiplicando um \ln(\cdot), quase sempre é produtivo definir u=e^{x} e v=\ln(\cdot) e aplicar produto + cadeia. Não esqueça de checar domínio (aqui x^{2}-1>0). Força aí — você tá indo bem!

Resposta

\displaystyle y' = e^{x}\left(\ln\bigl(x^{2}-1\bigr) + \dfrac{2x}{x^{2}-1}\right)

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