Seja
Estude a concavidade e determine os pontos de inflexão.
Passo 1
Enunciado e dados: foi dada a função
O que é pedido: estudar a concavidade de
(ou seja, determinar onde
é côncava para cima ou para baixo) e determinar os pontos de inflexão. Informações relevantes extraídas do enunciado: o denominador
anula-se em
, logo o domínio de
é
ou seja, as três “fatias”
,
e
. A resolução começará a partir daqui, calculando
e
.
Passo 2
Cálculo da derivada primeira
. Vou usar a regra do quociente: se
, então
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando a regra:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 3
Cálculo da derivada segunda
. Vou reescrever
de forma que facilite aplicar regra do produto/chain:
Aplico a regra do produto
. Tome
e
. Então
. Para
uso a regra do chain: se
com
, então
e
. Assim
Agora calcule
:
Simplifico cada termo e coloco em denominação comum
:
Simplificando o numerador:
Portanto a expressão final e simplificada é
Passo 4
Interpretação do sinal de
. Para decidir concavidade precisamos do sinal de
. Observe o numerador e o denominador separadamente:
Note que
para todo
(pois
e somando
fica estritamente positivo). Multiplicado por
continua positivo. Logo o numerador é sempre positivo.
Passo 5
Análise do sinal do denominador
. O cubo preserva o sinal de
, ou seja,
tem o mesmo sinal que
. Assim basta analisar
:
- Se
(ou seja ou ), então e portanto . - Se
(ou seja ), então e portanto .
Lembre que emo denominador é zero e não está definida.
Passo 6
Conclusão sobre concavidade usando o sinal de
. Como o numerador de
é sempre positivo, o sinal de
coincide com o sinal de
. Portanto:
- Em
temos . Logo é côncava para cima em . - Em
temos . Logo é côncava para baixo em . - Em
temos . Logo é côncava para cima em .
Passo 7
Pontos de inflexão: definição e aplicação. Lembre-se que um ponto de inflexão é um ponto
do domínio onde a concavidade muda de sentido (de cima para baixo ou vice-versa) e onde a função é contínua. As possíveis lugares onde a concavidade muda aqui são em
, mas nesses pontos
não está definida (são descontinuidades verticais). Além disso, para haver um ponto de inflexão no domínio normalmente procuramos valores onde
ou
é indefinida mas
contínua — neste problema
nunca se anula porque o numerador
é sempre positivo. Assim não há
no domínio que faça
. E as únicas mudanças de concavidade ocorrem em pontos fora do domínio (
). Portanto não existem pontos de inflexão pertencentes ao domínio de
.
Passo 8
Resumo rápido e exemplo comparativo (para fixar): aqui
nunca se anula e muda de sinal apenas ao atravessar
, pontos em que
não existe. Para contraste, a função
tem
que se anula em
e muda de sinal ali, e como
é contínua em
então
é ponto de inflexão de
. No nosso problema isso não acontece.