Seja
f(x)=\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}
Estude a concavidade e determine os pontos de inflexão.

Passo 1

Enunciado e dados: foi dada a função
f(x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}.
O que é pedido: estudar a concavidade de f (ou seja, determinar onde f é côncava para cima ou para baixo) e determinar os pontos de inflexão. Informações relevantes extraídas do enunciado: o denominador x^{2}-1 anula-se em x=\pm 1, logo o domínio de f é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\,\},
ou seja, as três “fatias” (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty). A resolução começará a partir daqui, calculando f' e f''.

Passo 2

Cálculo da derivada primeira f'(x). Vou usar a regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=2x^{2} e v(x)=x^{2}-1. Então u'(x)=4x e v'(x)=2x. Aplicando a regra:
f'(x)=\frac{4x\,(x^{2}-1)-2x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
4x(x^{2}-1)-4x^{3}=4x^{3}-4x-4x^{3}=-4x.
Portanto
f'(x)=\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 3

Cálculo da derivada segunda f''(x). Vou reescrever f'(x) de forma que facilite aplicar regra do produto/chain:
f'(x)=-4x\,(x^{2}-1)^{-2}.
Aplico a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Tome u(x)=-4x e v(x)=(x^{2}-1)^{-2}. Então u'(x)=-4. Para v'(x) uso a regra do chain: se v=(w)^{-2} com w=x^{2}-1, então v'=-2 w^{-3}\cdot w' e w'=2x. Assim
v'(x)=-2(x^{2}-1)^{-3}\cdot 2x = -4x\,(x^{2}-1)^{-3}.
Agora calcule f''(x)=u'v+uv':
f''(x) = (-4)\,(x^{2}-1)^{-2} + (-4x)\cdot\bigl(-4x\,(x^{2}-1)^{-3}\bigr).
Simplifico cada termo e coloco em denominação comum (x^{2}-1)^{3}:
f''(x) = -\frac{4}{(x^{2}-1)^{2}} + \frac{16x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}} = \frac{-4(x^{2}-1)+16x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}}.
Simplificando o numerador:
-4(x^{2}-1)+16x^{2}=-4x^{2}+4+16x^{2}=12x^{2}+4=4(3x^{2}+1).
Portanto a expressão final e simplificada é
f''(x)=\frac{4(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.

Passo 4

Interpretação do sinal de f''(x). Para decidir concavidade precisamos do sinal de f''(x). Observe o numerador e o denominador separadamente:
\text{numerador}=4(3x^{2}+1).
Note que 3x^{2}+1>0 para todo x (pois 3x^{2}\ge 0 e somando 1 fica estritamente positivo). Multiplicado por 4 continua positivo. Logo o numerador é sempre positivo.

Passo 5

Análise do sinal do denominador (x^{2}-1)^{3}. O cubo preserva o sinal de x^{2}-1, ou seja, (x^{2}-1)^{3} tem o mesmo sinal que x^{2}-1. Assim basta analisar x^{2}-1:
  • Se |x|>1 (ou seja x<-1 ou x>1), então x^{2}-1>0 e portanto (x^{2}-1)^{3}>0.
  • Se |x|<1 (ou seja -1<x<1), então x^{2}-1<0 e portanto (x^{2}-1)^{3}<0.
    Lembre que em x=\pm 1 o denominador é zero e f não está definida.

Passo 6

Conclusão sobre concavidade usando o sinal de f''(x). Como o numerador de f''(x) é sempre positivo, o sinal de f''(x) coincide com o sinal de (x^{2}-1)^{3}. Portanto:
  • Em (-\infty,-1) temos |x|>1\Rightarrow (x^{2}-1)^{3}>0\Rightarrow f''(x)>0. Logo f é côncava para cima em (-\infty,-1).
  • Em (-1,1) temos |x|<1\Rightarrow (x^{2}-1)^{3}<0\Rightarrow f''(x)<0. Logo f é côncava para baixo em (-1,1).
  • Em (1,\infty) temos |x|>1\Rightarrow (x^{2}-1)^{3}>0\Rightarrow f''(x)>0. Logo f é côncava para cima em (1,\infty).

Passo 7

Pontos de inflexão: definição e aplicação. Lembre-se que um ponto de inflexão é um ponto x_{0} do domínio onde a concavidade muda de sentido (de cima para baixo ou vice-versa) e onde a função é contínua. As possíveis lugares onde a concavidade muda aqui são em x=\pm 1, mas nesses pontos f não está definida (são descontinuidades verticais). Além disso, para haver um ponto de inflexão no domínio normalmente procuramos valores onde f''(x_{0})=0 ou f'' é indefinida mas f contínua — neste problema f''(x) nunca se anula porque o numerador 4(3x^{2}+1) é sempre positivo. Assim não há x no domínio que faça f''(x)=0. E as únicas mudanças de concavidade ocorrem em pontos fora do domínio ( x=\pm 1). Portanto não existem pontos de inflexão pertencentes ao domínio de f.

Passo 8

Resumo rápido e exemplo comparativo (para fixar): aqui f''(x)=\dfrac{4(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}} nunca se anula e muda de sinal apenas ao atravessar x=\pm1, pontos em que f não existe. Para contraste, a função g(x)=x^{3} tem g''(x)=6x que se anula em x=0 e muda de sinal ali, e como g é contínua em 0 então x=0 é ponto de inflexão de g. No nosso problema isso não acontece.

Resposta

f é côncava para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty) e côncava para baixo em (-1,1).\nNão existem pontos de inflexão (nenhum x no domínio satisfaz f''(x)=0 e as mudanças de concavidade ocorrem em x=\pm 1, onde f não é definida)).

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