Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x \ln (x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x,ln(x),dx
usando integração por partes. Essa técnica é baseada na regra do produto para derivadas e leva à fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as funções de modo a simplificar a integral:
u = ln(x), dv = x,dx
Dessa forma,
du = 1x,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x,ln(x),dx = u,v - integral v,du = x^22,ln(x) - integral x^22,1x,dx

Passo 4

Calcule a integral restante:
integral x^22,1x,dx = 12integral x,dx = 12cdotx^22 = x^24

Passo 5

Juntando tudo e acrescentando a constante C:
integral x,ln(x),dx = x^22,ln(x) - x^24 + C

Resposta

integral x,ln(x),dx = x^22,ln(x) - x^24 + C

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