Derive as funções:
DESAFIO: f(x)=sen^2 xcos x-----[R: f^prime(x)=sen x(sec ^2 x+1)]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sen^2 xcos x
O conteúdo necessário envolve regras de derivação: regra do produto, regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas ( sen x e sec x).

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos
f(x)=sen^2 x;sec x,
já que sec x = 1/cos x. Assim transformamos um quociente num produto.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) = (sen^2 x)',sec x + sen^2 x,(sec x)'
Pela regra da cadeia,
(sen^2 x)' = 2sen xcos x,
e sabemos que
(sec x)' = sec xtan x

Passo 4

Substituindo:
f'(x)=2sen xcos x;sec x ;+;sen^2 x;sec xtan x
Usamos que cos x;sec x=1 e que sec xtan x=dfracsen xcos^2 x, obtendo
f'(x)=2sen x ;+;sen^3 xcos^2 x

Passo 5

Fatoramos sen x:
f'(x)=sen xl(2+sen^2 xcos^2 xr) =sen xl(2+tan^2 xr)
Por fim, usando a identidade 1+tan^2 x=sec^2 x, temos
2+tan^2 x = 1+sec^2 x
e assim
f'(x)=sen xl(sec^2 x+1r)

Resposta

f'(x)=sen xl(sec^2 x+1r)

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