Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Sejam xi: I R contínua e f: R^2 R de classe C^1, com partial fpartial y neq 0 em todos os pontos. Se f(x, xi(x))=0 para todo x in I, prove que xi é de classe C^1. (Dica: Mostre que xi é única. Depois use o teorema da função implícita para abertos que contenham (x0, xi(x0)), para todo x0 in I.)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua xicolon ItoR e fcolonR^2toR de classe C^1 satisfazendo
fl(x,xi(x)r)=0 para todo xin I,
além de
partial fpartial y(x,y)neq 0 em todos os pontos (x,y)inR^2
Queremos provar que xi é de classe C^1. Vamos usar o Teorema da Função Implícita localmente em torno de cada ponto x0in I.

Passo 2

Sejam x0in I e y0=xi(x0). Então f(x0,y0)=0 e partial f/partial y(x0,y0)neq0. Pelo Teorema da Função Implícita, existem vizinhanças abertas Uni x0 em R e Vni y0 em R e uma função phicolon Uto V de classe C^1 tal que
fl(x,phi(x)r)=0 para todo xin U,
e phi(x0)=y0. Além disso, a construção garante a unicidade local: se (x,y)in Utimes V satisfaz f(x,y)=0, então y=phi(x).

Passo 3

Por hipótese, xi é contínua em I e satisfaz f(x,xi(x))=0. Como xi(x0)=y0in V e x0in U, pela unicidade da solução implícita segue
xi(x)=phi(x) para todo xin U
Logo xi coincide com phi em U, e portanto xi é de classe C^1 em U.

Passo 4

O raciocínio acima vale para todo ponto x0in I. Assim, I pode ser coberto por intervalos abertos U em cada um dos quais xi é C^1. Concluímos que xi é de classe C^1 em todo o intervalo I.

Resposta

A função xi é de classe C^1.

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