Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Sejam
contínua e
de classe
, com
em todos os pontos. Se
para todo
, prove que
é de classe
. (Dica: Mostre que
é única. Depois use o teorema da função implícita para abertos que contenham
, para todo
.)
Sejam
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
e
de classe
satisfazendo
além de
Queremos provar que
é de classe
. Vamos usar o Teorema da Função Implícita localmente em torno de cada ponto
.
Passo 2
Sejam
e
. Então
e
. Pelo Teorema da Função Implícita, existem vizinhanças abertas
em
e
em
e uma função
de classe
tal que
e
. Além disso, a construção garante a unicidade local: se
satisfaz
, então
.
Passo 3
Por hipótese,
é contínua em
e satisfaz
. Como
e
, pela unicidade da solução implícita segue
Logo
coincide com
em
, e portanto
é de classe
em
.
Passo 4
O raciocínio acima vale para todo ponto
. Assim,
pode ser coberto por intervalos abertos
em cada um dos quais
é
. Concluímos que
é de classe
em todo o intervalo
.
Resposta
A função
é de classe
.