1.2F Mostre que:
lim substackx 0 y 0 |x|+|y|x^2+y^2=infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, conforme (x,y)to(0,0), a razão
|x|+|y|x^2+y^2
torna-se arbitrariamente grande, ou seja, que
limsubstackxto0 yto0|x|+|y|x^2+y^2 = +infty
O conteúdo aqui é limite em duas variáveis que diverge, e vamos usar uma desigualdade que relaciona |x|+|y| com raizx^2+y^2.

Passo 2

Seja M>0 qualquer. Definimos
r = raizx^2+y^2
Pela desigualdade triangular inversa temos
|x| + |y| ;>=; r
Logo, sempre que r>0,
|x|+|y|x^2+y^2 ;=; |x|+|y|r^2 ;>=; rr^2 ;=; 1r
Escolhendo
de<a = 1M,
vemos que, sempre que 0<r<de<a, então
|x|+|y|x^2+y^2 ;>=; 1r ;>; 1de<a ;=; M
Isso mostra, pela definição de limite que diverge, que a expressão fica maior que qualquer M para raizx^2+y^2 suficientemente pequeno.

Resposta

+infty

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