Derive as funções:
f(x)=\cot g(x)+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cot\bigl(g(x)\bigr)+\frac{1}{x}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivar \cot(g(x)) e a regra da potência para derivar 1/x.

Passo 2

Para derivar \cot\bigl(g(x)\bigr), lembramos que, em geral,
\frac{d}{du}\cot(u)=-\csc^2(u).
Aplicando a regra da cadeia, com u=g(x), temos
\frac{d}{dx}\cot\bigl(g(x)\bigr) =-\csc^2\bigl(g(x)\bigr)\,\frac{d}{dx}g(x) =-\csc^2\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

Passo 3

Para derivar \frac{1}{x}, podemos reescrever como x^{-1} e usar a regra da potência:
\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.

Passo 4

Somando as duas derivadas parciais, obtemos
f'(x) =-\csc^2\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) -\frac{1}{x^2}.

Resposta

f'(x)=-\csc^2\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\;-\;\frac{1}{x^2}.

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