Derive as funções:
f(x)=\log _{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\log_{2}(x).
O conteúdo que vamos usar é a derivada de logaritmo natural e a regra de mudança de base, pois não existe fórmula direta para logaritmo em base arbitrária sem fazê-lo passar por \ln(x).

Passo 2

Reescrevemos \log_{2}(x) em termos de \ln(x) usando a mudança de base:
\log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}.
Aqui \ln(2) é uma constante, já que não depende de x.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada. Como \displaystyle\frac{1}{\ln(2)} é constante, basta derivar \ln(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\frac{1}{x}.
Logo, por fator constante,
f'(x)=\frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr] =\frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{x}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\,\ln(2)}.

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