Derive as funções:
f(t)=e^{t}(\cos (t)+t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=e^{t}\bigl(\cos(t)+t\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e as derivadas básicas de e^{t}, de \cos(t) e de t.

Passo 2

Aplicando a regra do produto,
f'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[e^{t}\bigr]\cdot\bigl(\cos(t)+t\bigr) + e^{t}\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\cos(t)+t\bigr].

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
\frac{d}{dt}\bigl[e^{t}\bigr]=e^{t}, \quad \frac{d}{dt}\bigl[\cos(t)+t\bigr]=-\,\sin(t)+1.
Substituindo em f'(t),
f'(t)=e^{t}\bigl(\cos(t)+t\bigr) +e^{t}\bigl(-\sin(t)+1\bigr).

Passo 4

Fatorando e^{t} e agrupando termos,
f'(t) = e^{t}\Bigl(\cos(t)-\sin(t)+t+1\Bigr).

Resposta

f'(t)=e^{t}\bigl(\cos(t)-\sin(t)+t+1\bigr).

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