derive as funções.
f(x)=\ln \left(x^{3}-2 x^{2}+5\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\ln\left(x^{3}-2x^{2}+5\right).
Ou seja: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x. As informações relevantes são:
  • A função está escrita como o logaritmo natural (ln) de uma expressão interna x^{3}-2x^{2}+5.
  • Precisamos obter uma fórmula que dê a taxa de variação de f em qualquer x onde a função esteja definida.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada com calma): se uma função é composta, isto é, tem a forma \ln(u(x)) com u(x) uma função de x, então a derivada usa a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da função interna. No caso do logaritmo natural temos uma regra simples e muito útil:
\text{Se }F(x)=\ln\big(u(x)\big)\text{ então }F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.ã
Explicando cada símbolo:
  • u(x) é a função que está “dentro” do \ln.
  • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x.
  • O resultado F'(x) significa "derivada de F em relação a x".
Intuição curta e prática: derivar \ln 1 sobre o que está dentro; como o que está dentro depende de x, multiplica-se por a derivada dessa parte (isso é a cadeia). No nosso caso a multiplicação vira divisão porque a derivada de \ln é 1/u.

Passo 3

Identificar a função interna e calcular sua derivada. Aqui escolhemos
u(x)=x^{3}-2x^{2}+5.
Agora aplicamos regras básicas de derivação termo a termo (regra da soma) e a regra do poder (a derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2} porque usamos a regra do poder com n=3.
  • Derivada de -2x^{2} é -2 vezes a derivada de x^{2}, ou seja -2\cdot 2x=-4x.
  • Derivada de 5 (constante) é 0.
Portanto
u'(x)=3x^{2}-4x.

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada do logaritmo composta: substituímos u(x) e u'(x) na regra
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Fica então
f'(x)=\frac{3x^{2}-4x}{x^{3}-2x^{2}+5}.

Passo 5

Pequena observação sobre domínio (importante na prova): a função original f(x)=\ln(u(x)) só está definida quando u(x)>0, ou seja quando x^{3}-2x^{2}+5>0. Para calcular f'(x) também precisamos estar em pontos onde u(x)\neq0. No entanto, avaliando rapidamente u(x) em pontos críticos nota-se que u(x) nunca zera e é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R} (por exemplo, u(0)=5>0 e o mínimo local calculado em x=\tfrac{4}{3} também é positivo), então a expressão de f'(x) vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Forma alternativa (opcional e útil em algumas provas): fatorar o numerador se for conveniente
3x^{2}-4x = x(3x-4),
então também se pode escrever
f'(x)=\frac{x(3x-4)}{x^{3}-2x^{2}+5}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3x^{2}-4x}{x^{3}-2x^{2}+5}

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