Dada a equação x^{2} y^{2}-x^{3}+y=2 em que y=f(x) encontre y^{\prime} usando a derivação ímplicita.
Derivando os membros da equação em relação a x temos,
2 x y^{2}+x^{2} 2 y y^{\prime}-3 x^{2}+y^{\prime}=0 \Rightarrow y^{\prime}\left(2 x^{2} y+1\right)=3 x^{2}-2 x y^{2} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{3 x^{2}-2 x y^{2}}{2 x^{2} y+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • É dada a equação \;x^{2}y^{2}-x^{3}+y=2\; em que y é função de x, ou seja y=f(x).
  • A pergunta é: encontrar y', isto é, \dfrac{dy}{dx}, usando derivação implícita.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): vai-se derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Ao derivar termos que envolvem y (que é função de x) aparece y' por causa da regra da cadeia. Também será necessário usar a regra do produto para termos que são produto de funções de x (por exemplo x^{2} e y^{2}).
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x), então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u' significa \dfrac{du}{dx}.
  • Regra da cadeia (para potências de y): se v(y)=y^{2} e y=y(x), então \dfrac{d}{dx}y^{2}=2y\cdot y'. Em palavras: derivada de y^{2} é 2y vezes a derivada de y em relação a x.
  • Derivada de potência de x: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de constante é zero.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo: derivamos ambos os lados da equação \;x^{2}y^{2}-x^{3}+y=2\; em relação a x.
Começando pelo primeiro termo \;x^{2}y^{2}\;: tratar como produto com u=x^{2} e v=y^{2}.
  • u'= \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • v'= \dfrac{d}{dx}y^{2}=2y\cdot y' (regra da cadeia).
    Pelo produto,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y^{2}\big)=u'v+uv'=2x\cdot y^{2}+x^{2}\cdot 2y\,y'.

Passo 4

Derivando os demais termos:
  • \dfrac{d}{dx}(-x^{3}) = -3x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}(y)=y'.
  • \dfrac{d}{dx}(2)=0.

Passo 5

Juntando tudo (derivada do lado esquerdo igual a derivada do lado direito):
2x\,y^{2} + x^{2}\cdot 2y\,y' - 3x^{2} + y' = 0.

Passo 6

Agrupar os termos que contêm y' de um lado e passar os demais para o outro lado. Os termos com y' são x^{2}\cdot 2y\,y' e y'. Então:
2x\,y^{2} - 3x^{2} + \big(2x^{2}y + 1\big)y' = 0.
Transpondo 2x\,y^{2}-3x^{2} para o outro lado:
\big(2x^{2}y + 1\big)y' = 3x^{2} - 2x\,y^{2}.

Passo 7

Isolar y' dividindo ambos os lados por \;2x^{2}y+1\; (desde que esse denominador não seja zero no ponto considerado):
y' = \dfrac{3x^{2} - 2x\,y^{2}}{2x^{2}y + 1}.

Passo 8

Comentário final e exemplo numérico rápido para ver que faz sentido: se quiser calcular a derivada em um ponto (x,y) conhecido, basta substituir esses valores na fórmula. Por exemplo, se (x,y)=(1,2) então
y'=\dfrac{3\cdot1^{2}-2\cdot1\cdot2^{2}}{2\cdot1^{2}\cdot2+1}=\dfrac{3-8}{4+1}=\dfrac{-5}{5}=-1.
Isso mostra como usar a expressão encontrada na prática. Vai dar tudo certo na prova — respira, repete os passos e pratica mais alguns exemplos parecidos!

Resposta

y'=\dfrac{3x^{2}-2x\,y^{2}}{2x^{2}y+1}

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