Dada a equação
em que
encontre
usando a derivação ímplicita.
Derivando os membros da equação em relação a
temos,
Derivando os membros da equação em relação a
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- É dada a equação
em que é função de , ou seja . - A pergunta é: encontrar
, isto é, , usando derivação implícita.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): vai-se derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Ao derivar termos que envolvem
(que é função de
) aparece
por causa da regra da cadeia. Também será necessário usar a regra do produto para termos que são produto de funções de
(por exemplo
e
).
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
e , então . Aqui significa . - Regra da cadeia (para potências de
): se e , então . Em palavras: derivada de é vezes a derivada de em relação a . - Derivada de potência de
: . - Derivada de constante é zero.
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo: derivamos ambos os lados da equação
em relação a
.
Começando pelo primeiro termo
: tratar como produto com
e
.
-
-
(regra da cadeia).
Pelo produto,
Passo 4
Derivando os demais termos:
Passo 5
Juntando tudo (derivada do lado esquerdo igual a derivada do lado direito):
Passo 6
Agrupar os termos que contêm
de um lado e passar os demais para o outro lado. Os termos com
são
e
. Então:
Transpondo
para o outro lado:
Passo 7
Isolar
dividindo ambos os lados por
(desde que esse denominador não seja zero no ponto considerado):
Passo 8
Comentário final e exemplo numérico rápido para ver que faz sentido: se quiser calcular a derivada em um ponto
conhecido, basta substituir esses valores na fórmula. Por exemplo, se
então
Isso mostra como usar a expressão encontrada na prática. Vai dar tudo certo na prova — respira, repete os passos e pratica mais alguns exemplos parecidos!