derive as funções.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Atenção ao domínio:
exige e exige . Portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido em .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a raiz como potência para aplicar a regra do expoente. Lembre que
. Assim
Passo 3
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma concreta):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se
com constante , então . - Regra da potência (power rule): para qualquer real
, a derivada de é
Aqui
é o expoente e
a variável; essa fórmula vale para inteiros e também para expoentes fracionários e negativos (quando a função está definida).
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
:
Explicando: use
na fórmula
.
Passo 5
Agora o segundo termo
. Pelo fator constante, derivamos
e multiplicamos por
. Usando a regra da potência com
:
Multiplicando por
dá
Podemos também escrever
como
.
Passo 6
Terceiro termo:
. Use a potência com
. Primeiro derive
:
Como temos um menos na frente, a derivada de
é
Passo 7
Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos
Formas equivalentes úteis para escrever a resposta:
Lembrete sobre domínio: esta expressão é válida para
(porque
e potências negativas exigem
e
).