derive as funções.
f(x)=x^{4}+6 \sqrt{x}-x^{-3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \,f(x)=x^{4}+6\sqrt{x}-x^{-3}\,.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \,f(x)=x^{4}+6\sqrt{x}-x^{-3}\,.
  • Atenção ao domínio: \sqrt{x} exige \,x\ge0\, e \,x^{-3}\, exige \,x\neq0. Portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido em \,x>0\,.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a raiz como potência para aplicar a regra do expoente. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim
f(x)=x^{4}+6x^{1/2}-x^{-3}.

Passo 3

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma concreta):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f(x)=g(x)+h(x) então f'(x)=g'(x)+h'(x).
  • Regra do fator constante: se g(x)=c\cdot h(x) com constante c, então g'(x)=c\cdot h'(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer real n, a derivada de \,x^{n}\, é
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável; essa fórmula vale para inteiros e também para expoentes fracionários e negativos (quando a função está definida).

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo \,x^{4}\,:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.
Explicando: use n=4 na fórmula n x^{n-1}.

Passo 5

Agora o segundo termo \,6x^{1/2}\,. Pelo fator constante, derivamos x^{1/2} e multiplicamos por 6. Usando a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
Multiplicando por 6
\frac{d}{dx}\big(6x^{1/2}\big)=6\cdot\left(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right)=3x^{-1/2}.
Podemos também escrever 3x^{-1/2} como \dfrac{3}{\sqrt{x}}.

Passo 6

Terceiro termo: -x^{-3}. Use a potência com n=-3. Primeiro derive x^{-3}:
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}\big)=-3x^{-4}.
Como temos um menos na frente, a derivada de -x^{-3} é
\frac{d}{dx}\big(-x^{-3}\big)=-\big(-3x^{-4}\big)=3x^{-4}.

Passo 7

Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos
f'(x)=4x^{3}+3x^{-1/2}+3x^{-4}.
Formas equivalentes úteis para escrever a resposta:
f'(x)=4x^{3}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x^{4}}.
Lembrete sobre domínio: esta expressão é válida para \,x>0\, (porque \sqrt{x} e potências negativas exigem x\neq0 e \sqrt{x}\ge0).

Resposta

f'(x)=4x^{3}+3x^{-1/2}+3x^{-4}

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