derive as funções.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma potência de uma soma de funções trigonométricas.
- O que se pede é a derivada em relação a
.
Passo 2
Vamos recordar a regra que vai resolver a maioria deste tipo de problema: a regra da cadeia para potências. Se temos uma função composta da forma
onde
é constante e
é uma função de
, a derivada é
O que isso diz, em palavras simples: mantenha a potência, multiplique pelo expoente e depois multiplique pela derivada da parte de dentro (a função
). É exatamente a combinação da regra da potência com a regra da cadeia.
Exemplo curto para fixar a ideia: se
então
,
e
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso problema, identificamos a função interna
e o expoente:
Agora precisamos de
, a derivada de
.
Passo 4
Recordando as derivadas básicas das funções trigonométricas:
Essas fórmulas vêm das definições das funções seno e cosseno e do limite básico que define a derivada de
e
. Usando-as,
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia com
,
e
:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Podemos fazer uma observação adicional (opcional) sobre formas alternativas: a expressão está bem simplificada, mas nota-se que
pode ser escrita como
pois
. Assim outra forma equivalente é
Isso não é necessário, mas às vezes ajuda a analisar zeros ou sinais da derivada.