derive as funções.
f(x)=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{7}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)^{7}
e pede para calcular a derivada f'(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma potência de uma soma de funções trigonométricas.
  • O que se pede é a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos recordar a regra que vai resolver a maioria deste tipo de problema: a regra da cadeia para potências. Se temos uma função composta da forma
h(x)=\big(u(x)\big)^{n},
onde n é constante e u(x) é uma função de x, a derivada é
h'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\,u'(x).
O que isso diz, em palavras simples: mantenha a potência, multiplique pelo expoente e depois multiplique pela derivada da parte de dentro (a função u(x)). É exatamente a combinação da regra da potência com a regra da cadeia.
Exemplo curto para fixar a ideia: se h(x)=(2x+3)^5 então u(x)=2x+3, u'(x)=2 e
h'(x)=5(2x+3)^4\cdot 2.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso problema, identificamos a função interna u(x) e o expoente:
u(x)=\operatorname{sen} x+\cos x,\qquad n=7.
Agora precisamos de u'(x), a derivada de \operatorname{sen} x+\cos x.

Passo 4

Recordando as derivadas básicas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x, \qquad \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\operatorname{sen} x.
Essas fórmulas vêm das definições das funções seno e cosseno e do limite básico que define a derivada de \sin x e \cos x. Usando-as,
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)=\cos x-\operatorname{sen} x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia com n=7, u(x) e u'(x):
f'(x)=7\big(u(x)\big)^{6}\,u'(x).
Substituindo u(x)=\operatorname{sen} x+\cos x e u'(x)=\cos x-\operatorname{sen} x, obtemos
f'(x)=7\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)^{6}\big(\cos x-\operatorname{sen} x\big).

Passo 6

Podemos fazer uma observação adicional (opcional) sobre formas alternativas: a expressão está bem simplificada, mas nota-se que \cos x-\operatorname{sen} x pode ser escrita como
\cos x-\operatorname{sen} x=\sqrt{2}\cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big),
pois \cos(x+\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-\sin x). Assim outra forma equivalente é
f'(x)=7\sqrt{2}\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)^{6}\cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big).
Isso não é necessário, mas às vezes ajuda a analisar zeros ou sinais da derivada.

Resposta

f'(x)=7\big(\operatorname{sen} x+\cos x\big)^{6}\big(\cos x-\operatorname{sen} x\big)

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