Derive as funções:
f(x)=\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\ln(x), definida em (0,\infty). O conteúdo é diferenciação de funções logarítmicas, e usaremos a definição de derivada a partir do limite e a propriedade de logaritmo para simplificar.

Passo 2

Pela definição de derivada temos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}.
Aplicando a identidade \ln(a)-\ln(b)=\ln\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr), obtém-se
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{x+h}{x}\bigr)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{h}{x}\bigr)}{h}.

Passo 3

Fazendo a troca de variável t=\tfrac{h}{x}, quando h\to0 também t\to0, dá
f'(x) =\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{x\,t} =\frac{1}{x}\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t} =\frac{1}{x},
pois \lim_{t\to0}\tfrac{\ln(1+t)}{t}=1.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x}.

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