Derive as funções:
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado dá f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} e pede f'(x). Como é uma composição de funções (várias raízes e somas), vamos usar a regra da cadeia em cada nível.

Passo 2

Defina
u(x)=x+\sqrt{x+\sqrt{x}},
de modo que
f(x)=\sqrt{u(x)}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Falta então calcular u'(x).

Passo 3

Escreva
u(x)=x+B(x),
com
B(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}.
Logo
u'(x)=1+B'(x).
Para B'(x), defina
v(x)=x+\sqrt{x},
então
B(x)=\sqrt{v(x)}
e
B'(x)=\frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}.
Como
v'(x)=1+\bigl(\sqrt{x}\bigr)'=1+\frac{1}{2\sqrt{x}},
temos
B'(x) =\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Passo 4

Substituindo em u'(x):
u'(x) =1+\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
Voltando a f'(x):
f'(x) =\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} =\frac{1+\dfrac{1+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}} {2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1+\displaystyle\frac{1+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}} {2\sqrt{x+\sqrt{x}}}} {2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.

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