Derive as funçōes:
f(x)=raiz[3]xx^3+1

Passo 1

Nesse exercício a gente vai derivar a função f(x)=raiz[3]xx^3+1. O conteúdo aqui é derivação de função composta e de quociente, então vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f(x) como potência para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Temos:
f(x)=(xx^3+1)^tfrac13

Passo 3

Agora, identificamos a composição: g(u)=u^tfrac13 e u(x)=xx^3+1. Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x)
Derivando a parte externa,
g'(u)=13u^-tfrac23

Passo 4

Vamos derivar u(x)=xx^3+1 usando a regra do quociente. Se u=vw, u'=v',w - v,w'w^2. Aqui v(x)=x e w(x)=x^3+1, então:
v'=1, w'=3x^2,
u'(x)=1cdot(x^3+1)-xcdot3x^2(x^3+1)^2 = x^3+1-3x^3(x^3+1)^2=1-2x^3(x^3+1)^2

Passo 5

Por fim, combinamos tudo:
f'(x)=13u^-tfrac23cdot u'(x)=13(xx^3+1)^-tfrac23cdot1-2x^3(x^3+1)^2
Agora simplificamos l(x/(x^3+1)r)^-2/3=(x^3+1)^2/3/x^2/3 e juntamos potências de (x^3+1):
f'(x)=1-2x^33,x^2/3,(x^3+1)^4/3

Resposta

f'(x)=1-2x^33,x^2/3,(x^3+1)^4/3

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