Descreva as curvas de nível e determine a imagem:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede as curvas de nível de
e a imagem dessa função. Isso envolve dois tópicos:
- Definição de curva de nível: para cada constante
, a curva de nível é o conjunto de pontos tais que
- Imagem (conjunto-alvo) da função: todos os valores possíveis de
quando varia no domínio .
Passo 2
Para cada valor
, impomos
e obtemos a equação
Logo, as curvas de nível são as retas de equação
com
fixo. Note que o domínio exige
, logo o ponto
fica excluído de cada reta.
Passo 3
Geometricamente, cada reta tem coeficiente angular
e “passa” por
, mas sem incluir esse ponto porque
não faz parte do domínio. O caso especial
gera a reta horizontal
Passo 4
Como
pode ser qualquer valor real, a função atinge todos os valores de
. Portanto, a imagem de
é
.
Resposta
As curvas de nível são as retas
com o ponto
excluído, e a imagem da função é
.