Descreva as curvas de nível e determine a imagem:
(b) z=yx-2

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível de z=yx-2 e a imagem dessa função. Isso envolve dois tópicos:
  1. Definição de curva de nível: para cada constante k, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que
yx-2=k
  1. Imagem (conjunto-alvo) da função: todos os valores possíveis de z quando (x,y) varia no domínio xneq2.

Passo 2

Para cada valor kinR, impomos
yx-2=k
e obtemos a equação
y = k,(x-2)
Logo, as curvas de nível são as retas de equação y=k(x-2) com k fixo. Note que o domínio exige xneq2, logo o ponto (2,0) fica excluído de cada reta.

Passo 3

Geometricamente, cada reta tem coeficiente angular k e “passa” por (2,0), mas sem incluir esse ponto porque x=2 não faz parte do domínio. O caso especial k=0 gera a reta horizontal
y=0, xneq2

Passo 4

Como k pode ser qualquer valor real, a função atinge todos os valores de zinR. Portanto, a imagem de z=yx-2 é R.

Resposta

As curvas de nível são as retas
y = k(x-2), kinR,
com o ponto (2,0) excluído, e a imagem da função é R.

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