Derive as funções:
f(x)=x sen^3(5 x^2+pi)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=x·sen³(5x²+π). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia em derivadas.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, identificamos duas funções: u(x)=x e v(x)=sen³(5x²+π). Assim, f’(x)=u’(x)·v(x)+u(x)·v’(x).
Derivamos u(x)=x: u’(x)=1. Para v(x)=sen³(5x²+π), usamos a regra da cadeia. Se w(x)=5x²+π e v=[sen(w)]³, então
v'(x)=3[sin(w)]^2cdotcos(w)cdot w'(x)
onde w’(x)=d/dx(5x²+π)=10x.

Passo 3

Substituindo w(x)=5x²+π e w’(x)=10x em v’(x), obtemos
v'(x)=3sin^2(5x^2+pi)cos(5x^2+pi)cdot10x=30xsin^2(5x^2+pi)cos(5x^2+pi)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=1cdotsin^3(5x^2+pi)+xcdotl(30xsin^2(5x^2+pi)cos(5x^2+pi)r)

Passo 5

Por fim, simplificando, chega-se a: f’(x)=sin³(5x²+π)+30x²·sin²(5x²+π)·cos(5x²+π).

Resposta

f’(x)=\sin3\bigl(5x2+\pi\bigr)+30x2\sin2\bigl(5x2+\pi\bigr)\cos\bigl(5x2+\pi\bigr)

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