Derive as funções:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função f(x)=x·sen³(5x²+π). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia em derivadas.
Passo 2
Para aplicar a regra do produto, identificamos duas funções: u(x)=x e v(x)=sen³(5x²+π). Assim, f’(x)=u’(x)·v(x)+u(x)·v’(x).
Derivamos u(x)=x: u’(x)=1. Para v(x)=sen³(5x²+π), usamos a regra da cadeia. Se w(x)=5x²+π e v=[sen(w)]³, então
Derivamos u(x)=x: u’(x)=1. Para v(x)=sen³(5x²+π), usamos a regra da cadeia. Se w(x)=5x²+π e v=[sen(w)]³, então
onde w’(x)=d/dx(5x²+π)=10x.
Passo 3
Substituindo w(x)=5x²+π e w’(x)=10x em v’(x), obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Passo 5
Por fim, simplificando, chega-se a: f’(x)=sin³(5x²+π)+30x²·sin²(5x²+π)·cos(5x²+π).
Resposta
f’(x)=\sin3\bigl(5x2+\pi\bigr)+30x2\sin2\bigl(5x2+\pi\bigr)\cos\bigl(5x2+\pi\bigr)