Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja contínua em x=1.
f(x)=ll (x^2-1) cos (pix)+b e^x & , se x<1 a & , se x=1 ln (x)+x^2-7 x+6x-1 & , se x>1

Passo 1

O enunciado define uma função por partes e pede continuidade em x=1, ou seja, queremos que limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x). O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes e vai envolver cálculo de limites laterais e aplicação da definição de continuidade.

Passo 2

Para calcular limxto1^-f(x), observamos
f(x)=(x^2-1)cosl(tfracpixr)+b,e^x
Como x^2-1to0 quando \x\to1) e cos(tfracpix) é limitada em [-1,1], o produto (x^2-1)cos(pi/x)to0. Além disso b,e^xto b,e. Logo
limxto1^-f(x)=0+b,e=b,e

Passo 3

Para calcular limxto1^+f(x), usamos
f(x)=ln(x)+x^2-7x+6x-1
Fatoramos o numerador:
x^2-7x+6=(x-1)(x-6)
Então
x^2-7x+6x-1=x-6,
para xneq1. Assim ln(x)to0 e x-6to-5, de modo que
limxto1^+f(x)=0+(-5)=-5

Passo 4

Pela definição de continuidade em x=1 precisamos de
limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x)
Como f(1)=a, igualamos:
  1. De limxto1^+f(x)=-5 vem a=-5.
  2. De limxto1^-f(x)=b,e vem b,e=a=-5, logo b=-5/e.

Resposta

a=-5,\quad b=-\dfrac{5}{e}

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