Determine os valores de e para que a função abaixo seja contínua em .
Passo 1
O enunciado define uma função por partes e pede continuidade em x=1, ou seja, queremos que limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x). O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes e vai envolver cálculo de limites laterais e aplicação da definição de continuidade.
Passo 2
Para calcular limxto1^-f(x), observamos
f(x)=(x^2-1)cosl(tfracpixr)+b,e^x
Como x^2-1to0 quando \x\to1) e cos(tfracpix) é limitada em [-1,1], o produto (x^2-1)cos(pi/x)to0. Além disso b,e^xto b,e. Logo
limxto1^-f(x)=0+b,e=b,e
Passo 3
Para calcular limxto1^+f(x), usamos
f(x)=ln(x)+x^2-7x+6x-1
Fatoramos o numerador:
x^2-7x+6=(x-1)(x-6)
Então
x^2-7x+6x-1=x-6,
para xneq1. Assim ln(x)to0 e x-6to-5, de modo que
limxto1^+f(x)=0+(-5)=-5
Passo 4
Pela definição de continuidade em x=1 precisamos de