Determine se a série a seguir converge ou diverge e, se convergir, encontre o tipo de convergência.
sumk=1^infty(-1)^k+1 k-1k^2+raizk
Dica: Testar a divergência; realizar o teste do tipo de convergência que não depende de sinais; caso negativo, realizar o teste do tipo de convergência que depende dos sinais…

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre saber se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar testar a divergência primeiro, depois ver se a série converge absolutamente ou condicionalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste verifica o limite do termo geral da série quando limk to infty (-1)^k+1 k-1k^2+raizk tende ao infinito. Se esse limite for diferente de zero, a série diverge.
Calculando o limite:
limk to infty k-1k^2+raizk = limk to infty kk^2 = limk to infty 1k = 0
Note que oscila entre 1 e -1, mas o módulo do termo é . Simplificando:
Como o limite é zero, o teste da divergência não conclui nada. A série pode convergir ou diverge, então precisamos de outro teste.

Passo 3

Agora, vamos testar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
sumk=1^infty | (-1)^k+1 k-1k^2+raizk | = sumk=1^infty k-1k^2+raizk
Para simplificar, observamos que:
k-1k^2+raizk approx kk^2 = 1k
Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Porém, como já vimos que o limite do termo geral é zero, ainda podemos ter uma convergência condicional. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que verifica duas condições:
  1. Os termos positivos k-1k^2+raizk > (k+1)-1(k+1)^2+raizk+1 para todo k >= 1 diminuem conforme aumenta.
  2. O limite dos termos positivos é zero.
Já vimos que o limite é zero. Agora, vamos verificar se os termos estão diminuindo:
Isso é verdadeiro porque o numerador cresce de forma linear e o denominador cresce de forma quadrática, fazendo com que os termos diminam conforme aumenta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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