Verifique as identidades:
x^{n}-a^{n}=(x-a)\left(x^{n-1}+a x^{n-2}+a^{2} x^{n-3}+\right. \left.\ldots+a^{n-2} x+a^{n-1}\right), em que n \in \mathbb{N}^{*}.

Passo 1

O enunciado pede verificar a fatoração da diferença de potências
x^{n}-a^{n}=(x-a)\bigl(x^{n-1}+a\,x^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\dots+a^{n-2}x+a^{n-1}\bigr),
para n\in\mathbb{N}^*. O conteúdo aqui é usar a propriedade distributiva e o cancelamento telescópico ao expandir o produto.

Passo 2

Escrevemos o produto do lado direito e o separamos em duas parcelas por distributividade:
(x-a)\bigl(x^{n-1}+\dots+a^{n-1}\bigr) = x\bigl(x^{n-1}+\dots+a^{n-1}\bigr)\;-\;a\bigl(x^{n-1}+\dots+a^{n-1}\bigr).

Passo 3

Agora expandimos cada uma dessas somas:
x\cdot x^{n-1}+x\cdot a\,x^{n-2}+\dots+x\cdot a^{n-1} \;-\;\bigl(a\,x^{n-1}+a^{2}x^{n-2}+\dots+a^{n}\bigr).

Passo 4

Observe que, termo a termo, todos os monômios intermediários cancelam em pares:
\bigl(x^{n}-\cancel{a\,x^{n-1}}+\cancel{a\,x^{n-1}}-\cancel{a^{2}x^{n-2}}+\dots+\cancel{a^{n-1}x}-a^{n}\bigr) = x^{n}-a^{n}.

Resposta

x^{n}-a^{n}=(x-a)\bigl(x^{n-1}+a\,x^{n-2}+\dots+a^{n-1}\bigr).

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