Derive as funções:
f(x, y)=e^{x^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=e^{x^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)
e pede que sejam calculadas as derivadas (parciais) em relação a x e em relação a y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de x e y.
  • A parte e^{x^{2}} depende apenas de x.
  • A parte \left(x^{2}+y^{2}\right) depende de ambos x e y.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar duas regras fundamentais que usaremos, explicadas de maneira direta e com significado de cada símbolo:
  • Regra do produto: para duas funções de x, u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) indica a derivada de u em relação a x, e v'(x) a derivada de v em relação a x.
  • Regra da cadeia (para exponencial): se g(x) é uma função de x, então
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)\,e^{g(x)}.
Ou seja, a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)} multiplicado pela derivada do expoente g(x).
Vamos aplicar essas regras às derivadas parciais. Nas derivadas parciais, tratamos a outra variável como constante: ao diferenciar em relação a x consideramos y constante; ao diferenciar em relação a y consideramos x constante.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x. Identifico as duas partes como funções de x:
u(x)=e^{x^{2}},\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Aplicando a regra do produto em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x,y)\big) = u'(x)\,v(x,y)+u(x)\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Agora calculo cada derivada:
  • Usando a regra da cadeia para u(x)=e^{x^{2}}:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x^{2}}=(2x)\,e^{x^{2}}.
  • Para v(x,y)=x^{2}+y^{2}, derivando em relação a x (com y constante):
\frac{\partial v}{\partial x}=2x.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}=(2x)e^{x^{2}}(x^{2}+y^{2})+e^{x^{2}}\,(2x).
Agora fatoro 2x e^{x^{2}}:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x e^{x^{2}}\big(x^{2}+y^{2}\big)+2x e^{x^{2}} =2x e^{x^{2}}\big(x^{2}+y^{2}+1\big).

Passo 4

Derivada parcial em relação a y. Aqui e^{x^{2}} é tratado como constante (pois não depende de y), então:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Derivando x^{2}+y^{2} em relação a y (com x constante):
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big)=2y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{2}}\cdot 2y=2y\,e^{x^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}}\big(x^{2}+y^{2}+1\big)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2y\,e^{x^{2}}

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