Derive as funções:
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede que sejam calculadas as derivadas (parciais) em relação a
e em relação a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de
e . - A parte
depende apenas de . - A parte
depende de ambos e .
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar duas regras fundamentais que usaremos, explicadas de maneira direta e com significado de cada símbolo:
- Regra do produto: para duas funções de
, e ,
Aqui
indica a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
em relação a
.
- Regra da cadeia (para exponencial): se
é uma função de , então
Ou seja, a derivada de
é
multiplicado pela derivada do expoente
.
Vamos aplicar essas regras às derivadas parciais. Nas derivadas parciais, tratamos a outra variável como constante: ao diferenciar em relação a
consideramos
constante; ao diferenciar em relação a
consideramos
constante.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
. Identifico as duas partes como funções de
:
Aplicando a regra do produto em relação a
:
Agora calculo cada derivada:
- Usando a regra da cadeia para
:
- Para
, derivando em relação a (com constante):
Substituindo:
Agora fatoro
:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
. Aqui
é tratado como constante (pois não depende de
), então:
Derivando
em relação a
(com
constante):
Portanto