Derive as funções:
f(x, y)=\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}
e pede para “derivar as funções” — isto é, calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão explícita de f.
  • O domínio natural onde a função está definida é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\neq 0\} (ou seja, todos os pontos exceto (0,0)).
  • Devemos tratar x e y como variáveis independentes: ao derivar em relação a uma, a outra é mantida constante.

Passo 2

Lembrete didático: o que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo. Formalmente,
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
se esse limite existir. Análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Para funções dadas por uma razão \dfrac{u(x,y)}{v(x,y)} com v\neq0, existe uma regra prática (análogo da regra do quociente em uma variável): se f=\dfrac{u}{v} então
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\frac{u_x\,v-u\,v_x}{v^{2}} \qquad\text{e}\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}=\frac{u_y\,v-u\,v_y}{v^{2}},
onde u_x é a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo), e v_x é análogo. Essa fórmula vem diretamente de manipular limites (ou aplicando a regra do produto a u\cdot v^{-1} e a regra da cadeia).

Passo 3

Aplicando a fórmula do quociente ao nosso caso: defina
u(x,y)=x+y,\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Calcule as derivadas parciais de u e v:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,\qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,\qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula do quociente para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}} = \frac{1\cdot(x^{2}+y^{2}) - (x+y)\cdot(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
1\cdot(x^{2}+y^{2}) - 2x(x+y) = x^{2}+y^{2} - 2x^{2} - 2xy = -x^{2} - 2xy + y^{2}.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{-x^{2} - 2xy + y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2} - x^{2} - 2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Repetimos o mesmo procedimento para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\dfrac{\partial f}{\partial y} = \frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}} = \frac{1\cdot(x^{2}+y^{2}) - (x+y)\cdot(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
x^{2}+y^{2} - 2y(x+y) = x^{2}+y^{2} - 2xy - 2y^{2} = x^{2} - 2xy - y^{2}.
Assim
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{x^{2} - 2xy - y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2} - 2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Comentário final prático e verificação rápida: ambas as derivadas estão definidas sempre que x^{2}+y^{2}\neq0. Como checagem simples, avaliando em (x,y)=(1,0) obtém-se
\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=\frac{0^{2}-1^{2}-0}{(1^{2}+0^{2})^{2}}=-1, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=\frac{1^{2}-0^{2}-0}{1^{2}}=1,
o que bate se derivar diretamente \,f(x,0)=x/(x^{2})=1/x naquele eixo (derivada -1/x^{2} em x=1 -1; e ao longo do eixo x=1 com y pequeno a variação em y dá 1 — só uma checagem intuitiva).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{y^{2}-x^{2}-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\n \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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