Derive as funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para “derivar as funções” — isto é, calcular as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A expressão explícita de
. - O domínio natural onde a função está definida é
(ou seja, todos os pontos exceto ). - Devemos tratar
e como variáveis independentes: ao derivar em relação a uma, a outra é mantida constante.
Passo 2
Lembrete didático: o que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação de quando apenas varia e fica fixo. Formalmente,
se esse limite existir. Análogo para
.
Para funções dadas por uma razão
com
, existe uma regra prática (análogo da regra do quociente em uma variável): se
então
onde
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo), e
é análogo. Essa fórmula vem diretamente de manipular limites (ou aplicando a regra do produto a
e a regra da cadeia).
Passo 3
Aplicando a fórmula do quociente ao nosso caso: defina
Calcule as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Agora substituímos na fórmula do quociente para
:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 5
Repetimos o mesmo procedimento para
:
Simplificando o numerador:
Assim
Passo 6
Comentário final prático e verificação rápida: ambas as derivadas estão definidas sempre que
. Como checagem simples, avaliando em
obtém-se
o que bate se derivar diretamente
naquele eixo (derivada
em
dá
; e ao longo do eixo
com
pequeno a variação em
dá 1 — só uma checagem intuitiva).