Derive as funções:
f(x, y)=5 x^{4} y^{2}+x y^{3}+4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=5x^{4}y^{2}+x y^{3}+4
e pede para derivar a(s) função(ões). Ou seja, calcular as derivadas parciais em relação a x e em relação a y:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é a variação de f quando só y varia, com x fixo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.
Na prática, para calcular derivadas parciais aplicamos as mesmas regras de derivação de funções de uma variável, tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma bem simples):
  • Regra do coeficiente constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}(c\cdot g(x))=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para n inteiro positivo.
  • Produto com fator constante: se um fator depende só da variável que está sendo tratada e o outro é função da outra variável (logo constante nessa derivação), então a derivada é o derivado do primeiro multiplicado pelo segundo (por exemplo, ao derivar em x uma expressão u(x)\cdot v(y), tem-se u'(x)\cdot v(y) porque v(y) é constante em relação a x).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) passo a passo.
Separe os termos:
f(x,y)=\underbrace{5x^{4}y^{2}}_{\text{(A)}}+\underbrace{x y^{3}}_{\text{(B)}}+\underbrace{4}_{\text{\text{(C)}}}.
Derive cada termo em relação a x, lembrando que y é tratado como constante.
  • Para o termo (A): 5x^{4}y^{2}. O fator y^{2} é constante, então derivando 5x^{4} usa-se a regra da potência e do coeficiente:
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{4}y^{2}\big)=5\cdot\frac{d}{dx}(x^{4})\cdot y^{2}=5\cdot(4x^{3})\cdot y^{2}=20x^{3}y^{2}.
  • Para o termo (B): x y^{3}. Aqui y^{3} é constante em relação a x, e \dfrac{d}{dx}x=1, logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{3}\big)=1\cdot y^{3}=y^{3}.
  • Para o termo (C): 4 é constante, então sua derivada é 0.
Somando os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=20x^{3}y^{2}+y^{3}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) passo a passo.
Novamente separe os termos e derive em relação a y, tratando x como constante.
  • Para o termo (A): 5x^{4}y^{2}. Agora x^{4} é constante, e derivando 5y^{2} obtemos 5\cdot 2y. Então
\frac{\partial}{\partial y}\big(5x^{4}y^{2}\big)=x^{4}\cdot 5\cdot 2y=10x^{4}y.
  • Para o termo (B): x y^{3}. Aqui x é constante e \dfrac{d}{dy}y^{3}=3y^{2}, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{3}\big)=x\cdot 3y^{2}=3xy^{2}.
  • Para o termo (C): constante 4 tem derivada 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10x^{4}y+3xy^{2}.

Passo 6

Resumo e interpretação rápida (amigável): as derivadas parciais dizem como f muda se eu variar só x ou só y. O vetor formado por essas duas derivadas é o gradiente
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right),
que aponta a direção de crescimento mais rápido de f.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=20x^{3}y^{2}+y^{3}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10x^{4}y+3xy^{2}

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