Derive as funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para “derivar” — ou seja, calcular as derivadas relacionadas à função. Vou interpretar isso como: calcular as derivadas parciais
e
. As informações fornecidas são apenas a expressão de
.
Passo 2
Conceito básico e definição (sem pânico, é só lembrar a ideia): a derivada parcial de
em relação a
mede a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo. A definição por limite é
Aqui
é um pequeno incremento em
;
aparece como um valor constante durante a variação.
Passo 3
Aplicando essa definição à nossa função: primeiro calcule
.
Agora a diferença no numerador da definição:
Dividindo por
e fazendo
,
Interpretação rápida: como
é tratado como constante, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
(constante em
) é
.
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. Definição por limite:
Calcule
:
A diferença é
Dividindo por
e fazendo
,
Intuição: tratando
como constante, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Atalhos práticos (para a prova): para derivadas parciais simplesmente trate a outra variável como constante e use regras usuais de derivação (produto por constante, soma, etc.). Aqui fácil:
- derivando em
: , . - derivando em
: , .
Passo 6
Outros objetos úteis que costumam pedir junto: o gradiente e o diferencial total (ajudam a interpretar a derivada como vetor e como aproximação linear).
O gradiente é o vetor das parciais:
O gradiente é o vetor das parciais:
O diferencial (a aproximação linear de
para pequenas variações
) é