Derive as funções:
f(x, y)=2 x y-4 y

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=2xy-4y e pede para “derivar” — ou seja, calcular as derivadas relacionadas à função. Vou interpretar isso como: calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. As informações fornecidas são apenas a expressão de f.

Passo 2

Conceito básico e definição (sem pânico, é só lembrar a ideia): a derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. A definição por limite é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x; y aparece como um valor constante durante a variação.

Passo 3

Aplicando essa definição à nossa função: primeiro calcule f(x+h,y).
f(x+h,y)=2(x+h)y-4y=2xy+2hy-4y.
Agora a diferença no numerador da definição:
f(x+h,y)-f(x,y)=(2xy+2hy-4y)-(2xy-4y)=2hy.
Dividindo por h e fazendo h\to0,
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=2y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2y.
Interpretação rápida: como y é tratado como constante, a derivada de 2xy em relação a x é 2y e a derivada de -4y (constante em x) é 0.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y. Definição por limite:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Calcule f(x,y+h):
f(x,y+h)=2x(y+h)-4(y+h)=2xy+2xh-4y-4h.
A diferença é
f(x,y+h)-f(x,y)=(2xy+2xh-4y-4h)-(2xy-4y)=2xh-4h=h(2x-4).
Dividindo por h e fazendo h\to0,
\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=2x-4 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x-4.
Intuição: tratando x como constante, a derivada de 2xy em relação a y é 2x e a derivada de -4y é -4.

Passo 5

Atalhos práticos (para a prova): para derivadas parciais simplesmente trate a outra variável como constante e use regras usuais de derivação (produto por constante, soma, etc.). Aqui fácil:
  • derivando em x: 2xy\mapsto 2y, -4y\mapsto0.
  • derivando em y: 2xy\mapsto 2x, -4y\mapsto-4.

Passo 6

Outros objetos úteis que costumam pedir junto: o gradiente e o diferencial total (ajudam a interpretar a derivada como vetor e como aproximação linear).
O gradiente é o vetor das parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(2y,\,2x-4).
O diferencial (a aproximação linear de f para pequenas variações \mathrm{d}x,\mathrm{d}y) é
\mathrm{d}f=2y\,\mathrm{d}x+(2x-4)\,\mathrm{d}y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2y
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2x-4
\displaystyle \nabla f=(2y,\;2x-4)
\displaystyle \mathrm{d}f=2y\,\mathrm{d}x+(2x-4)\,\mathrm{d}y

Exercícios relacionados