Derive as funções:
(a) g(x)=(1+2^3 x)^ln (x^3).

Passo 1

Temos a função g(x) = l(1+2^3xr)^ln(x^3). O conteúdo da matéria aqui é derivação de funções na forma f(x)^h(x), usando log-diferenciação. Para resolver vamos precisar das regras de derivada de logaritmo, da cadeia e de funções exponenciais como 2^3x.

Passo 2

Definimos y = g(x) e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl((1+2^3x)^ln(x^3)r) = ln(x^3)cdot ln(1+2^3x)

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. O lado esquerdo dá 1yy'. O lado direito é produto de ln(x^3) e ln(1+2^3x), então usamos a regra do produto e da cadeia:
y'y = ddx[ln(x^3)]cdot ln(1+2^3x) + ln(x^3)cdot ddx[ln(1+2^3x)]

Passo 4

Derivando cada termo:
ddx[ln(x^3)] = 3x,
ddx[ln(1+2^3x)] = 11+2^3xcdot ddx[2^3x] = 11+2^3xcdot 2^3xcdot 3ln2

Passo 5

Então obtemos:
$$\frac{y

Passo 6

Finalmente, multiplicamos por y=(1+2^3x)^ln(x^3) para achar y'.

Resposta

g'(x) = (1+2^3x)^ln(x^3)l[3xln(1+2^3x) + ln(x^3)3ln2;2^3x1+2^3xr].

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