Resolva as EDOs abaixo:
y^prime=y-xx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'=y-xx. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem homogênea, pois o lado direito depende de y/x. Vamos usar a substituição y=ux para transformar em separável.

Passo 2

Com a substituição u=y/x, temos y=ux. Derivando em relação a x y'=u+x,du/dx. Substituindo na EDO original y'=y-xx=u-1 resulta em u+x,du/dx=u-1.

Passo 3

Isolando o termo du/dx obtemos x,du/dx=(u-1)-u=-1, ou seja du/dx=-1/x, que é uma equação separável simples.

Passo 4

Integramos ambos os lados: integral du=integral -1x,dx leva a u=-ln|x|+C, onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original: y=ux=xl(-ln|x|+Cr)=-xln|x|+Cx. Essa é a solução geral da EDO.

Resposta

A solução geral é y=-xln|x|+Cx.

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