Seja
(b) F é derivável em - 1 ? (justifique usando a definição)
(b) F é derivável em - 1 ? (justifique usando a definição)
Passo 1
A função é dada por partes: para x<-1 temos F(x)=x^2+2x, e para -1≤x≤0 temos F(x)=x. A questão (conteúdo de derivabilidade) pede para usar a definição via limite do quociente de diferença em x=-1.
Passo 2
Primeiro a gente verifica a continuidade em x=-1. Temos F(-1) no segundo ramo, ou seja F(-1)=-1. Do lado esquerdo,
e do lado direito
Como os limites laterais coincidem com F(-1), F é contínua em x=-1.
Passo 3
Agora calculamos a derivada lateral esquerda usando a definição de derivada:
Em seguida a derivada lateral direita:
Passo 4
Como a derivada à esquerda (0) é diferente da derivada à direita (1), a derivada não existe em x=-1.
Resposta
Não, F não é derivável em x=-1 pois as derivadas laterais são diferentes (0 e 1).