Seja F(x)=ccc & & x^2+2 x & se & x<-1 x & se & -1 <= x <= 0 1ln (x) & & (3 x) & se & x>0
(b) F é derivável em - 1 ? (justifique usando a definição)

Passo 1

A função é dada por partes: para x<-1 temos F(x)=x^2+2x, e para -1≤x≤0 temos F(x)=x. A questão (conteúdo de derivabilidade) pede para usar a definição via limite do quociente de diferença em x=-1.

Passo 2

Primeiro a gente verifica a continuidade em x=-1. Temos F(-1) no segundo ramo, ou seja F(-1)=-1. Do lado esquerdo,
limxto -1^-F(x)=limxto -1^-(x^2+2x)=(-1)^2+2(-1)=-1,
e do lado direito
limxto -1^+F(x)=limxto -1^+x=-1
Como os limites laterais coincidem com F(-1), F é contínua em x=-1.

Passo 3

Agora calculamos a derivada lateral esquerda usando a definição de derivada:
limxto -1^-F(x)-F(-1)x-(-1)=limxto -1^-(x^2+2x)-(-1)x+1=limxto -1^-x^2+2x+1x+1=limxto -1^-(x+1)^2x+1=limxto -1^-(x+1)=0
Em seguida a derivada lateral direita:
limxto -1^+F(x)-F(-1)x-(-1)=limxto -1^+x-(-1)x+1=limxto -1^+x+1x+1=1

Passo 4

Como a derivada à esquerda (0) é diferente da derivada à direita (1), a derivada não existe em x=-1.

Resposta

Não, F não é derivável em x=-1 pois as derivadas laterais são diferentes (0 e 1).

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