Resolva as EDOs abaixo:
dQdt+210+2 t Q=4, com t>-5

Passo 1

Estamos com uma EDO linear de 1ª ordem:
dQdt + 210 + 2t,Q = 4, e precisamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Para achar o fator integrante mu(t), computamos
mu(t) = e^integral 210 + 2t,dt = e^integral 22(t+5),dt = e^integral 1t+5,dt = e^ln|t+5| = t+5,
valendo para t > -5 em que t+5>0.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(t)=t+5. Assim,
(t+5)dQdt + (t+5)210+2t,Q = 4(t+5)
Observe que
(t+5)210+2t = 1,
logo o lado esquerdo é a derivada do produto (t+5)Q:
$$
\frac{d}{dt}\bigl((t+5)Q\bigr) = 4(t+5).
$$

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
(t+5)Q = 4integral (t+5),dt = 4l(tfract^22 +5tr) + C = 2t^2 +20t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Finalmente, isolamos Q:
Q(t) = 2t^2 +20t + Ct+5 = 2t +10 + C-50t+5
Reescrevendo a constante arbitrária C-50 como K, obtemos a forma geral da solução.

Resposta

Q(t) = 2t + 10 + Kt+5, com K constante de integração.

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