Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
.
O conteúdo envolvido é comportamento assintótico da função exponencial e uso de propriedades básicas de limites infinitos.
O conteúdo envolvido é comportamento assintótico da função exponencial e uso de propriedades básicas de limites infinitos.
Passo 2
Observamos que para todo
vale
Além disso, quando
temos
, pois a função exponencial é estritamente crescente e satisfaz
. Logo, para
a sequência de valores
fica presa entre 0 e 1 e tende a diminuir cada vez mais.
Passo 3
Para tornar a justificativa mais rigorosa, fazemos a troca de variável
. Quando
,
. Logo
Como
quando
, segue que
.