Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
f(x)=e^x
lim x -infty f(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -inftyf(x)
onde f(x)=e^x.
O conteúdo envolvido é comportamento assintótico da função exponencial e uso de propriedades básicas de limites infinitos.

Passo 2

Observamos que para todo xinR vale
e^x>0
Além disso, quando x<0 temos e^x<1, pois a função exponencial é estritamente crescente e satisfaz e^0=1. Logo, para xto -infty a sequência de valores e^x fica presa entre 0 e 1 e tende a diminuir cada vez mais.

Passo 3

Para tornar a justificativa mais rigorosa, fazemos a troca de variável t=-x. Quando xto -infty, tto +infty. Logo
limxto -inftye^x =limtto +inftye^-t =limtto +infty1e^t
Como e^tto+infty quando tto+infty, segue que tfrac1e^tto0.

Resposta

limxto -inftye^x=0

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