Derive as funções a seguir:
(k) f(x)=1(1+ln x)^2 Resp: f^prime(x)=-2x(1+ln x)^3

Passo 1

Aqui a função é f(x)=\frac{1}{(1+\ln x)^2}$, e a matéria é derivada de função composta, usando regra da cadeia e derivada de , e a matéria é derivada de função composta, usando regra da cadeia e derivada de .

Passo 2

Escrevemos f(x) como potência: f(x)=(1+ln x)^-2, assim fica mais fácil aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=g(u(x)) com g(u)=u^-2 e u(x)=1+ln x, então f'(x)=g'(u)cdot u'(x).
Derivada de g(u)=u^-2 é g'(u)=-2u^-3. Derivada de u(x)=1+ln x é u'(x)=1x.

Passo 4

Multiplicando, obtemos f'(x)=-2(1+ln x)^-3cdot1x. Simplificando em forma de fração: f'(x)=-2x(1+ln x)^3

Resposta

-2x(1+ln x)^3

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