Encontre o ponto sobre a reta de equação reduzida y=-2 x+1 que está mais próximo do ponto de coordenadas P(2,4)

Passo 1

A questão pede o ponto sobre a reta de equação reduzida y=-2x+1 que está mais próximo de P(2,4). O conteúdo é geometria analítica de retas em 2D e vamos usar projeção ortogonal: o segmento que liga P ao ponto procurado deve ser perpendicular à reta dada.

Passo 2

A reta dada tem declive m=-2. Uma reta perpendicular a ela terá declive igual ao negativo do inverso, isto é, mperp=tfrac12.

Passo 3

Escrevemos a equação da reta perpendicular passando por P(2,4). Partindo da forma ponto-declive,
y-4=tfrac12,(x-2)
e reescrevendo em equação reduzida,
y=tfrac12x+3

Passo 4

Agora encontramos a interseção entre
y=-2x+1
e
y=tfrac12x+3 igualando:
-2x+1=tfrac12x+3

Passo 5

Multiplicando por 2 para eliminar o denominador,
-4x+2=x+6
e resolvendo, temos -5x=4 logo x=-tfrac45.

Passo 6

Por fim, substituímos x=-tfrac45 em y=-2x+1:
y=-2l(-tfrac45r)+1=tfrac85+tfrac55=tfrac135 Assim chegamos ao ponto de projeção ortogonal sobre a reta.

Resposta

l(-tfrac45,,tfrac135r)

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